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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 34

Um par de dados é jogado 180 vezes. Qual é a probabilidade de que o total 7 ocorra

(a) pelo menos 25 vezes?

(b) entre 33 e 41 vezes, inclusive?

(c) exatamente 30 vezes?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Primeiro, vamos organizar as informações do enunciado.

O número de jogadas é n = 180 .

Nós vamos considerar o resultado 7 como sucesso.

O espaço amostral para que o resultado seja 7 é: 1 ,   6 2 ,   5 3 ,   4 4 ,   3 5 ,   2 6 ,   1 = 6 .

Enquanto que o total de casos ao jogar um par de dados é 6 ∙ 6 = 36 .

Sendo assim, a probabilidade de sucesso é p = 6 / 36 = 0,1667 .

Usaremos X para representar o número de sucesso, entre 180 jogadas.

Sendo assim, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 180 e p = 0,1667 .

A média da distribuição binomial é:

μ = n p = 180 0,1667 = 30

E o desvio padrão é definido por:

σ = n p 1 - p = 180 0,1667 1 - 0,1667 = 5

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade de que pelo menos de 25 jogadas resultem em 7. Então, queremos encontrar a área a direita de x = 24,5 .

z = x - μ σ = 24,5 - 30 5 = - 1,1

Portanto, a probabilidade é:

P X ≥ 25 = P Z ≥ - 1,1

= 1 - P Z < - 1,1

= 1 - 0,1357

P X ≥ 25 = 0,8643

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de que as jogadas que resultam em 7 seja entre 33 e 41, inclusive. Sendo assim, queremos a área a entre x 1 = 32,5 e x 2 = 41,5 .

z 1 = x 1 - μ σ = 32,5 - 30 5 = 0,5

z 2 = x 2 - μ σ = 41,5 - 30 5 = 2,3

Logo, a probabilidade é:

P 33 ≤ X ≤ 41 = P 0,5 < Z < 2,3

= P Z < 2,3 - P ( Z < 0,5 )

= 0,9893 - 0,6915

P 33 ≤ X ≤ 41 = 0,2978

Passo 4

Por fim, queremos saber a probabilidade de que sejam exatamente 30 jogadas que resultam em 7. Então, temos que achar a área entre x 1 = 29,5 e x 2 = 30,5 .

z 1 = x 1 - μ σ = 29,5 - 30 5 = - 0,1

z 2 = x 2 - μ σ = 30,5 - 30 5 = 0,1

Portanto, a probabilidade é:

P X = 30 = P - 0,1 ≤ Z ≤ 0,1

= P Z ≤ 0,1 - P Z ≤ - 0,1

= 0,5398 - 0,4602

P X = 30 = 0,0796

Resposta

a) 0,8643

b) 0,2978

c) 0,0796

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