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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 91

A permeabilidade Tem uma membrana, usada como uma barreira de umidade em uma aplicação biológica, depende das pessoas duas camadas integrados. As camadas são normalmente distribuídas, com média de 0.51 mm, respectivamente. Os desvios padrão das pessoas das camadas somos 0,1 0,2 mm respectivamente. A correlação entre as camadas de 0.7.

  1. determine a média e a variância da espessura total duas camadas.
  2. Qual é a probabilidade da espessura total ser menor do que 1 milímetro?
  3. Seja X1 e X2 a espessura das camadas 1 e 2 , respectivamente. Uma medida do desempenho da membrana é uma função da espessura. Determine a média e a variância dessa medida de desempenho.

Passo 1

Seja as variáveis ​​aleatórias X 1 e X 2 as duas camadas da membrana.

As camadas são normalmente distribuídas.

X 1 ∼ N ( 0.5,0 . 1 2 )

X 2 ∼ N ( 1,0 . 2 2 )

A espessura total da membrana é Y = X 1 + X 2

Porque X 1 e X 2 são normalmente distribuídos, sua combinação linear Y é normalmente distribuído também.

A correlação entre X 1 e X 2 é ρ = 0.7

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular a média e a variância da espessura total das duas camadas.

A média é:

E ( Y ) = E ( X 1 + X 2 ) = 1.5

A variância é:

V a r ( Y ) = V a r ( X 1 + X 2 )

Como ρ = C o v ( X 1 , X 2 ) σ 1 σ 2 , temos:

V a r ( Y ) = 0.078

Passo 3

Letra b:

Vamos calcular a probabilidade de que a espessura total seja inferior a 1 milímetro.

P ( Y < 1 ) = P Y - E ( Y ) V a r ( Y ) < 1 - 1.5 0.078 = 0.0367

Passo 4

Letra c:

Vamos determinar a média e a variância se a nova espessura for T = 2 X 1 + 3 X 2 .

A média é:

E ( T ) = E ( 2 X 1 + 3 X 2 ) = 4

A variância é:

V a r ( T ) = V a r ( 2 X 1 + 3 X 2 ) = 0.568

Resposta

  1. E ( Y ) = 1.5 e V a r ( Y ) = 0.078
  2. 0.0367
  3. E ( T ) = 4 e V a r ( T ) = 0.568
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