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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 46

Quando as placas de circuito integrado usadas na fabricação de CD-players são testadas, a porcentagem de placas com defeitos no longo prazo é igual a 5%. Seja X número de placas com defeito em uma amostra aleatória de tamanho n 25, de forma que X Bin(25, 0,05).

  1. Determine P X   ≤ 2
  2. Determine P X   ≥ 5  
  3. Determine P     1   ≤ X   ≤ 4
  4. Qual é a probabilidade de que nenhuma das 25 placas apresente defeito?
  5. Calcule o valor esperado e o desvio padrão de X

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A variável aleatória definida segue distribuição Binomial com parâmetros n=25 e p=0,05. Os dois comentários a seguir valem para tal distribuição.

b x ; n ,   p =   n x p x 1 - p n - x ,   x = 0 ,   1   ,   2 ,   … ,   n 0

Passo 2

  1. Pelos comentários acima, o seguinte vale para a probabilidade de eventos   X   ≤ 2

    2. P   X   ≤ 2   = B 2 ; 25 ,   0.05 =   ∑ y = 0 2 b y ; 25 ,   0.05

    = 25 0 p 0 1 - p 25 - 0 + 25 1 p 1 1 - p 25 - 1 +   25 2 p 2 1 - p 25 - 2

    = 0.28 + 0.36 + 0.23

    = 0.87  

    Passo 3

  2. Pelos comentários acima, o seguinte vale para a probabilidade do evento que     X   ≥ 5

    3. P X   ≥ 5 = 1 - P X < 5

    = 1 - B 4 ; 25 ,   0.05 =   ∑ y = 0 4 b y ; 25 ,   0.05

    = 1 - 25 0 p 0 1 - p 25 - 0 + 25 1 p 1 1 - p 25 - 1 +   25 2 p 2 1 - p 25 - 2 +   25 3 p 3 1 - p 25 - 3 + 25 4 p 4 1 - p 25 - 4 ]

    = 1 - 0.28 - 0.36 - 0.23 - 0.09 - 0.03

    = 0.007

  3. Pelos comentários acima, o seguinte vale para a probabilidade do evento que   1   ≤ X     ≤ 4

    4. P   1   ≤ X   ≤ 4   = P X = 1 ,   X = 2 ,   X = 3 ,   X = 4

    = B 4 ; 25 ,   0.05 - P X = 0

    = ∑ y = 0 4 b ; 25 ,   0.05 -   P X = 0

    = 0.28 + 0.36 + 0.23 + 0.09 + 0.03 - 0.28

    = 0.72

  4. Pelos comentários acima, o seguinte vale para a probabilidade do evento que X = 0

    5. P X = 0 = b 0 ; 25 ,   0.05 = 0.28

  5. Comentário. Para uma variável aleatória binomial X com parâmetros n, p e q=1-p, o seguinte é verdadeiro

E X = n p ;

V X = n p 1 - p = n p q ;

σ x =   n p q

O valor esperado e o desvio padrão da variável aleatória X, pelo comentário, são dados por

E X = n p = 25 ∙ 0.05 = 1.25 ;

σ x =   n p q =   25 ∙ 0.05 ∙ ( 1 - 0.05 )   = 1.09

Resposta

  1. P   X   ≤ 2   = 0.87
  2. P X   ≥ 5   = 0.007
  3. P     1   ≤ X   ≤ 4 = 0.72
  4. P X = 0 = 0.28
  5. E X = 1.25 ;   σ X = 1.09

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