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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 56

Uma ponte cobra um pedágio de US$ 1,00 para carros de passeio e de US$ 2,50 para outros veículos. Suponha que, durante o dia, 60% de todos os veículos sejam carros de passeio. Se 25 veículos cruzarem a ponte durante um determinado período do dia, qual será a receita esperada resultante? [Sugestão: Seja X número de carros de passeio. A receita total h(X) é uma função linear de X.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A variável aleatória X definida no exercício tem Distribuição Binomial com parâmetros n=25 e p=0.6 (60% são carros de passeio). Podemos escrevê-lo como

X   ~ B i n 25 ,   0.6

Conforme dado na dica, podemos representar a receita de pedágio como uma função linear

h X = 1 ∙ X + 2.5 ∙ 25 - X

onde 1 é o dólar para carros de passeio, 2.5 é o dólar para outros tipos de veículos e 25-X é o número de outros veículos. Quando simplificamos a função, obtemos

h X = 62.5 - 1.5 X

Devemos calcular a receita de pedágio esperada. Para fazer isso, primeiro precisamos calcular o valor esperado de X.

Passo 2

Proposição: Para uma variável aleatória binomial X com parâmetros n, p e q=1-p, o seguinte é verdadeiro

E X = n p ;

V X = n p 1 - p = n p q ;

σ X =   n p q

O seguinte é verdadeiro

E X = n p = 25 ∙ 0.6 = 15

O seguinte é verdadeiro

E a X + b = a ∙ E X + b

Da proposição, o seguinte é verdadeiro para a=-1.5 e b=62.5

E h X = E 62.5 - 1.5 X = 62.5 - 1.5 E X = 62.5 - 1.5 ∙ 1.5

= 40

dólares. Portanto, a receita de pedágio esperada é de $40.

Resposta

40 dolares

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