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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 79

Uma população normal tem média variância conhecidas. Qual é a probabilidade aproximada de que a variância da amostra seja maior do que ou igual a 7,44? Menor do que Ou igual a 2,56?

  1. para um amostra aleatória de N = 16.
  2. Para uma amostra aleatória de N = 30.
  3. Para uma amostra aleatória de N = 71.
  4. Compare suas respostas dos itens a a c com a probabilidade aproximada de que a variância amostral é maior do que o igual a 7,44. Explique porque essa probabilidade da extremidade está crescendo ou diminuindo com aumento do tamanho da amostra
  5. Compare suas respostas dos itens a a c com a probabilidade aproximada de que a variância amostral é menor do que ou igual a 2,56. Explique por que essa probabilidade da extremidade está crescendo ou diminuindo com o aumento do tamanho da amostra.

Passo 1

Temos:

μ = 50 σ 2 = 5

Letra a:

n = 16

Calcule o valor da estatística de teste:

χ 2 = n - 1 σ 0 2 s 2 = 16 - 1 5 ⋅ 7.44 ≈ 22.32 χ 2 = n - 1 σ 0 2 s 2 = 16 - 1 5 ⋅ 2.56 ≈ 7.68

A probabilidade é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela IV contendo o valor χ 2 na linha d f = n - 1 = 16 - 1 = 15

Maior que ou igual a 7.44 : 0.050 < P s 2 ≥ 7.44 < 0.100

Menor ou igual a 2.56 : 0.050 = 1 - 0.950 < P s 2 ≤ 2.56 < 1 - 0.900 = 0.100

Usando tecnologia: P s 2 ≥ 7.44 = 0.09968  and  P s 2 ≤ 2.56 = 0.06403

Passo 2

Letra b:

n = 30

Calcule o valor da estatística de teste:

χ 2 = n - 1 σ 0 2 s 2 = 30 - 1 5 ⋅ 7.44 ≈ 43.152 χ 2 = n - 1 σ 0 2 s 2 = 30 - 1 5 ⋅ 2.56 ≈ 14.848

A probabilidade é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela IV contendo o valor χ 2 na linha d f = n - 1 = 30 - 1 = 29

Maior que ou igual a 7.44 : 0.025 < P s 2 ≥ 7.44 < 0.050

Menor ou igual a 2.56 : 0.010 = 1 - 0.990 < P s 2 ≤ 2.56 < 1 - 0.975 = 0.025

Usando tecnologia: P s 2 ≥ 7.44 = 0.04408  and  P s 2 ≤ 2.56 = 0.01384

Passo 3

Letra c:

n = 71

Calcule o valor da estatística de teste:

χ 2 = n - 1 σ 0 2 s 2 = 71 - 1 5 ⋅ 7.44 ≈ 104.16 χ 2 = n - 1 σ 0 2 s 2 = 71 - 1 5 ⋅ 2.56 ≈ 35.84

A probabilidade é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela IV contendo o valor χ 2 na linha d f = n - 1 = 71 - 1 = 70

Maior que ou igual a 7.44 : 0.005 < P s 2 ≥ 7.44 < 0.01

Menor ou igual a 2.56 : P s 2 ≤ 2.56 < 1 - 0.995 = 0.005

Usando tecnologia P s 2 ≥ 7.44 = 0.00505  and  P s 2 ≤ 2.56 = 0.00023

Passo 4

Letra d:

Conforme o tamanho da amostra aumenta, a probabilidade diminui, porque quanto maior for a amostra, mais perto nós esperamos que a variância da amostra seja igual à variância da população.

Passo 5

Letra e:

Conforme o tamanho da amostra aumenta, a probabilidade diminui, porque quanto maior é a amostra, mais perto nós esperamos que a variância da amostra seja igual à variância da população.

Resposta

  1. 0.050 < P s 2 ≥ 7.44 < 0.100,0.050 < P s 2 ≤ 2.56 < 0.100
  2. 0.025 < P s 2 ≥ 7.44 < 0.050,0.010 < P s 2 ≤ 2.56 < 0.025
  3. 0.005 < P s 2 ≥ 7.44 < 0.01 , P s 2 ≤ 2.56 < 0.005
  4. Ver resolução
  5. Ver resolução
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