Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 20
Determine o valor de se tornar função uma função densidade probabilidade conjunta logo da faixa. Determine o seguinte: distribuição de probabilidade marginais de X
Passo 1
Temos a seguinte função de densidade de probabilidade:
Antes de começarmos o exercício, vamos resolver uma integral em detalhes que vamos usar mais tarde.
Seja uma constante arbitrária, olhe para o seguinte integral:
e a seguinte integral:
A função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X satisfaz o seguinte:
Usando isso, para uma variável aleatória bidimensional (X, Y). podemos encontrar a constante c:
Em qualquer outro lugar a função . Cuidado com os limites integrais!
Assim, a partir disso, temos:
Temos a função de densidade de probabilidade:
Antes de continuarmos, para qualquer conjunto A, podemos calcular P(A) como:
para qualquer variável aleatória contínua X.
Passo 2
Letra a:
Usando , temos:
para a função de densidade de probabilidade é 0. A integral acima pode ser resolvida da mesma forma que já resolvemos antes.
Passo 3
Letra b:
Passo 4
Letra c:
Aqui nós temos quase certeza que , então obtemos o evento porque para e a função de densidade de probabilidade é 0 (escrevemos no evento apenas para que você possa ver porque a integral tem essa aparência, você não precisa escrevê-la, é o suficiente).
Passo 5
Letra d:
Passo 6
Letra e:
Uma vez que a variável aleatória que nos é dada é contínua, porque temos função de densidade conjunta que é uma função contínua, calculamos a expectativa como:
Vamos calcular as funções de densidade marginal como:
Em combinação com os dois acima, temos:
Passo 7
Letra f:
Em combinação dos dois acima, o mesmo que para , temos:
Passo 8
Letra g:
Pela definição que demos acima, podemos calcular a distribuição de densidade marginal como, para :
e para a probabilidade é 0, porque . Portanto, temos que a função de densidade marginal é:
Passo 9
Letra h:
Para duas variáveis aleatórias X e Y, a distribuição de probabilidade condicional pode ser calculado como:
Usando isso nós temos, para :
para todas os outros y, a probabilidade é 0, lembre-se de que !
Passo 10
Letra i:
Já temos a definição de expectativa (veja acima), então:
Passo 11
Letra j:
Distribuição de probabilidade condicional de dado que , para é:
para todos os outros x é 0. Aqui usamos que para e 0 caso contrário (pode ser calculado como distribuição marginal ).
Resposta
- c=10
- 0.77893
- 0.19057
- 0.9695
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- 0.2809
- Ver resolução.