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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 65

No problema anterior, se p = 0,6 e o casal usar a estratégia da letra (b), qual é a probabilidade condicional de que o casal dê a resposta correta dado que marido e sua esposa

(a) estejam de acordo?

(b) não estejam de acordo?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Os eventos são exatamente os mesmos da questão anterior

- E v e n t o   q u e   o   m a r i d o   r e s p o n d e   a   q u e s t ã o  

W - E v e n t o   e m   q u e   a   e s p o s a   r e s p o n d e   a   q u e s t ã o

W k - e v e n t o   e m   q u e   a   e s p o s a   s a b e   c o m o   r e s p o n d e r   a   q u e s t ã o

H k - e v e n t o   e m   q u e   o   m a r i d o   s a b e   c o m o   r e s p o n d e r   a   q u e s t ã o

C - e v e n t o   q u e   a   q u e s t ã o   é   r e s p o n d i d a   c o r r e t a m e n t e

As probabilidades são dadas no enunciado, então são exatamente essas aqui

P H k = p = 0,6

P W k = p = 0,6

H k e W k são independentes de H e W . Se ambos concordarem que essa é a resposta deles, se não concordarem, uma de suas respostas é escolhida aleatoriamente. Então, as probabilidades que nós queremos é a )   P C c o n c o r d a e b )   P ( C | N ã o   c o n c o r d a ) . Vamos calcular!!

Passo 2

A - P ( C o n c o r d a )

Como a pergunta é binária, eles concordam se ambos estão corretos ou se acham que a resposta incorreta é a correta

P C o n c o r d a =     P H k W k + P H k C W k C

Com a independência de termos, nós podemos usar o princípio multiplicativo

P C o n c o r d a = P H k P W k + P H k C P ( W k C )

Substituindo os termos, nós temos

P C o n c o r d a = p 2 + 1 - p 2 = 0,36 + 0,16 = 0,52

P ( C o n c o r d a ∩ C )

Ambos concordam e estão corretos se ambos souberem a resposta

P C o n c o r d a ∩ C = P ( H k W k )

Pela independência, usaremos o princípio da multiplicação

P C o n c o r d a ∩ C = P H k P ( W k )

Substituindo os termos, nós temos

P C o n c o r d a ∩ C = p 2 = 0,36

A definição de probabilidade condicional para esse caso é

P C C o n c o r d a = P C ∩ C o n c o r d a P C o n c o r d a

Substituindo os valores, nós temos que

P C C o n c o r d a = p 2 p 2 + 1 - p 2 = 0,35 0,52 = 9 13

Passo 3

B – P ( N ã o   c o n c o r d a )

Podemos usar o complementar da questão anterior, com isso, nós temos que

P N ã o   c o n c o r d a = 1 - P ( C o n c o r d a )

Substituindo os valores, nós temos que

P N ã o   c o n c o r d a = 1 - p 2 - 1 - p 2

Fazendo alguns cálculos, chegamos ao seguinte resultado

P N ã o   c o n c o r d a = 2 p 1 - p

Substituindo os valores, nós chegamos ao seguinte resultado

P N ã o   c o n c o r d a = 0,48

P N ã o   c o n c o r d a ∩ C

E eles discordam e estão corretos se o marido está certo, a esposa não é o marido é escolhido para apresentar a resposta ou se a esposa está certa, o marido não é e a esposa é escolhida para apresentar a resposta. Com isso, nós temos que

P N ã o   c o n c o r d a ∩ C = P H H k W k C + P ( W H k C W k )

Pelo princípio da multiplicação, nós podemos fazer a seguinte manipulação (até rimou 😊)

P N ã o   c o n c o r d a ∩ C = P H H k W k C P H k W k C + P W H k C W k P ( H k C W k )

Com isso, temos

P N ã o   c o n c o r d a ∩ C = 1 2 P H k W k C + 1 2 P ( H k C W k )

Substituindo os valores, obtemos o seguinte resultado

P N ã o   c o n c o r d a ∩ C = p 1 - p = 0,24

Como o que queremos é a probabilidade condicional, vamos obter da seguinte forma

P C N ã o   c o n c o r d a = p 1 - p 2 p ( 1 - p ) = 1 2

Resposta

a )   P C C o n c o r d a = 9 13

b )   P C N ã o   c o n c o r d a = 1 2

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