Enunciado
Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 30
Entre os 16 programadores de uma empresa, 12 pertencem ao sexo masculino. Sorteando-se 5 desses programadores, ao acaso, qual a probabilidade de:
- encontrarmos 3 ou 4 programadores do sexo feminino, supondo não haver reposição dos programadores sorteados, durante o sorteio;
- encontrarmos no mínimo 3 programadores do sexo masculino, supondo haver reposição dos programadores sorteados, durante o sorteio.
Passo 1
Olá pessoal. Primeiramente vamos relembrar o conceito de distribuição binomial e hipergeométrica.
A distribuição binomial é um modelo de experiência aleatória que pode ser repetida vezes, sempre nas mesmas condições, na qual podem ocorrer apenas duas alternativas: realização de um evento (sucesso), ou a não realização desse evento (fracasso):
Seja a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:
Já a distribuição hipergeométrica é um modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli dependentes. Refere-se a experimentos que se caracterizam por retiradas sem reposição, onde a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada. A distribuição hipergeométrica se difere da distribuição binomial porque a probabilidade de sucesso muda de um experimento para o outro.
Para isso, iremos considerar um conjunto de elementos. Onde serão extraídos elementos () sem reposição. Onde é o número de elementos com a referida característica que estarão entre os retirados, e a probabilidade de sair o elemento, ou seja:
E sabemos que:
Sabendo disso, vamos para o nosso exercício, pelo enunciado temos:
- programadores;
- sexo masculino;
- sexo feminino;
- .
Passo 2
No item a) queremos encontrar a probabilidade de encontrarmos 3 ou 4 programadores do sexo feminino, sendo que não haja reposição. Para isso temos:
- ;
- .
Como não há reposição, iremos utilizar a distribuição hipergeométrica:
Sendo assim, temos o seguinte para :
E para :
Então a probabilidade de encontrarmos 3 ou 4 programadores do sexo feminino é:
Passo 3
No item b) queremos a probabilidade de encontrar no mínimo 3 programadores do sexo masculino, porém neste caso irá haver reposição dos programadores.
Então se há reposição, quando sorteia um programador, ele retorna para o sorteio, e novamente faz outro sorteio. Faz isso sucessivamente, até o sorteio de 5 programadores. Neste caso podemos resolver pela distribuição binomial:
- ;
- ;
- ;
- .
Então temos a seguinte equação:
Primeiramente iremos calcular para :
Então a probabilidade de serem sorteados no mínimo 3 programadores do sexo masculino é:
Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.