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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 45

Prove (6.4), (6.5) e (6.6).

Passo 1

Vamos lembrar quem são as fórmulas (6.4), (6.5) e (6.6)?

E (a X + b) = a E (X) + b (6.4)

V a r (a X + b) = a^2 V a r (X) (6.5)

V a r (X) = E (X^2) - [E (X)]^2 = sum x_i^2 p (x_i) - [ sum x_i p (x_i) ]^2 (6.6)

Agora, vamos provar cada uma 😉.

Passo 2

Começando por (6.4).

Sabemos que

E (X) = sum_(i = 1)^n x_i p ( x_i )

Logo,

E (a X + b) = sum (a X + b) p (x) = sum a x p (x) + sum b p (x)

Como a e b são constantes, temos:

a sum x p ( x ) + b sum p (x) = a E (X) + b

Passo 3

Agora (6.5).

Sabemos que

V a r (X) = E (X^2) - [E (X)]^2

Logo,

V a r (a X + b) = E [(a X + b)^2] - E [(a X + b)]^2 = a^2 (E (X^2) - [E (X)]^2) + (b^2 - b^2) +

+ 2 b E (X) - 2 b E (X) = a^2 V a r ( X )

Passo 4

Por fim (6.6).

Sabemos que

E (X) = sum_(i = 1)^n x_i p ( x_i )

Portanto,

E (X^2) = sum_(i = 1)^n x_i^2 p ( x_i )

Logo,

V a r (X) = E (X^2) - [E (X)]^2 = sum x^2 p (x) - sum x p (x) sum x p (x) = sum x^2 p (x) - [ sum x p (x)^2 ]

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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