Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 38
De quantas maneiras diferentes bolas distintas podem ser distribuídas, ao acaso, em urnas numeradas de 1 a ? Qual é a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas? Qual é a probabilidade de cada urna conter no máximo uma bola?
Passo 1
Salve salve galera, tudo certo?? Bora lá pra mais uma questãozinha de estatística:
Para resolver as questões sobre a distribuição de r bolas distintas em n urnas numeradas, vamos analisar cada uma das perguntas separadamente:
- Quantas maneiras diferentes existem para distribuir r bolas distintas em n urnas numeradas?
- Qual é a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas?
- Qual é a probabilidade de cada urna conter no máximo uma bola?
Passo 2
Pra começar vamos responder a quantidade de maneiras diferentes existem para distribuir r bolas distintas em n urnas numeradas.
Cada bola pode ser colocada em qualquer uma das n urnas. Portanto, para a primeira bola, há n opções, para a segunda bola também há n opções, e assim por diante, até a r-ésima bola.
O número total de maneiras de distribuir r bolas em n urnas é dado por:
Passo 3
Agora vamos calcular a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas.
Para encontrar essa probabilidade, é mais fácil calcular primeiro a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que nenhuma urna tenha duas bolas (ou que todas as urnas contenham no máximo uma bola).
Se a probabilidade de que cada urna contenha no máximo uma bola pode ser calculada pela fórmula para a escolha de r urnas distintas dentre as n urnas, seguido pela distribuição das r bolas em r urnas distintas.
Primeiro escolhemos r urnas de n:
Depois, distribuímos as r bolas nas r urnas escolhidas, o que pode ser feito de maneiras.
Portanto, o número de maneiras de distribuir r bolas em n urnas com no máximo uma bola em cada urna é:
A probabilidade de que cada urna contenha no máximo uma bola é então:
A probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas é o complemento dessa probabilidade:
Passo 4
Pra acabar, a probabilidade de que cada urna contenha no máximo uma bola já foi calculada acima: