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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 38

De quantas maneiras diferentes r bolas distintas podem ser distribuídas, ao acaso, em   n urnas numeradas de 1 a n ? Qual é a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas? Qual é a probabilidade de cada urna conter no máximo uma bola?

Passo 1

Salve salve galera, tudo certo?? Bora lá pra mais uma questãozinha de estatística:

Para resolver as questões sobre a distribuição de r bolas distintas em n urnas numeradas, vamos analisar cada uma das perguntas separadamente:

  1. Quantas maneiras diferentes existem para distribuir r bolas distintas em n urnas numeradas?
  2. Qual é a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas?
  3. Qual é a probabilidade de cada urna conter no máximo uma bola?

Passo 2

Pra começar vamos responder a quantidade de maneiras diferentes existem para distribuir r bolas distintas em n urnas numeradas.

Cada bola pode ser colocada em qualquer uma das n urnas. Portanto, para a primeira bola, há n opções, para a segunda bola também há n opções, e assim por diante, até a r-ésima bola.

O número total de maneiras de distribuir r bolas em n urnas é dado por:

n r

Passo 3

Agora vamos calcular a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas.

Para encontrar essa probabilidade, é mais fácil calcular primeiro a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que nenhuma urna tenha duas bolas (ou que todas as urnas contenham no máximo uma bola).

Se r ≤ n a probabilidade de que cada urna contenha no máximo uma bola pode ser calculada pela fórmula para a escolha de r urnas distintas dentre as n urnas, seguido pela distribuição das r bolas em r urnas distintas.

Primeiro escolhemos r urnas de n:

n r

Depois, distribuímos as r bolas nas r urnas escolhidas, o que pode ser feito de r ! maneiras.

Portanto, o número de maneiras de distribuir r bolas em n urnas com no máximo uma bola em cada urna é:

n r r !

A probabilidade de que cada urna contenha no máximo uma bola é então:

P m á x   d e   u m a   b o l a   p o r   u r n a = n r r ! n r

A probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas é o complemento dessa probabilidade:

P p e l o   m e n o s   u m a   u r n a   c o m   d u a s   b o l a s = 1 - n r r ! n r

Passo 4

Pra acabar, a probabilidade de que cada urna contenha no máximo uma bola já foi calculada acima:

P m á x   d e   u m a   b o l a   p o r   u r n a = n r r ! n r

Resposta

n r

P p e l o   m e n o s   u m a   u r n a   c o m   d u a s   b o l a s = 1 - n r r ! n r

P m á x   d e   u m a   b o l a   p o r   u r n a = n r r ! n r

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