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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 64

Uma questão de verdadeiro ou falso é colocada para um time formado por um marido e sua esposa em um jogo de perguntas e respostas. Tanto o homem quanto a mulher darão, de forma independente, a resposta correta com probabilidade p. Qual das estratégias seguintes é a melhor para o casal?

(a) Escolher um deles e deixar que a pessoa escolhida responda a questão.

(b) Ambos pensarem na questão e darem a resposta comum se estiverem de acordo ou, se não estiverem de acordo, jogar uma moeda para determinar que resposta devem dar.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamo lá, vamos identificar os eventos

H - E v e n t o   q u e   o   m a r i d o   r e s p o n d e   a   q u e s t ã o  

W - E v e n t o   e m   q u e   a   e s p o s a   r e s p o n d e   a   q u e s t ã o

W k - e v e n t o   e m   q u e   a   e s p o s a   s a b e   c o m o   r e s p o n d e r   a   q u e s t ã o

H k - e v e n t o   e m   q u e   o   m a r i d o   s a b e   c o m o   r e s p o n d e r   a   q u e s t ã o

C - e v e n t o   q u e   a   q u e s t ã o   é   r e s p o n d i d a   c o r r e t a m e n t e

Com isso, temos as seguintes probabilidades:

P Ω = 1 ,     s e n d o   Ω   o   e s p a ç o   a m o s t r a l

P H k = p

P W k = p

H k e W k são independentes de H e W . Agora vamos responder as questões

Passo 2

A – Vamos utilizar a seguinte estratégia aqui, que o H é o complementar de W , e a probabilidade dos dois eventos são distribuídas igualitariamente. Com isso, nós temos que

H = W C   e   P H = P W = 1 2

O evento de responder corretamente pode ocorrer de duas maneiras: ou a esposa sabe e é ela quem responde ou o marido sabe e ele responde

P C = P H k ∩ H + P ( W k ∩ W )

Essas probabilidades são independentes, e com isso, nós temos que

P C = P H k ∙ P H ∙ P W k ∙ P ( W )

Substituindo as probabilidades, nós obtemos o seguinte resultado:

P C = P ∙ 1 2 + p ∙ 1 2 = p

Passo 3

B – No caso da letra b, se ambos concordarem que essa é a resposta deles, se não concordarem, uma de suas respostas é escolhida aleatoriamente.

Agora o evento C acontece se ambos concordarem e estiverem corretos, a esposa estiver correta e o marido não e a esposa responder, ou o marido estiver correto e ele responder.

Como ninguém muda de opinião, quando eles concordam digamos que metade das vezes a mulher diz a resposta, e metade o marido. Então isso é o mesmo que o primeiro caso, P H = 1 / 2 , e cada pessoa diz sua (às vezes opinião compartilhada), que está correta com probabilidade p.

Agora vamos escrever a probabilidade de C

P C = P H k W k + P H k W k C H + P ( H k C W k W )

Lembrando da independência de eventos, nós temos que

P C = P H k W k + P H k W k C P H + P H k C W k P ( W )

Desenvolvendo os termos, nós temos que

P C = 1 2 P H k W k + P H k W k C + 1 2 P H k W k + P H k C W k

Isso nos dá basicamente que

P C = 1 2 p + 1 2 p = p

Resposta

A s   d u a s   e s t r a t é g i a s   d ã o   p r o b a b i l i d a d e   p   p a r a   s e r e m   b e m   s u c e d i d a s

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