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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 4

Retorne à situação descrita no Exercício 3.

a. Determine a fmp marginal de X 1 e, depois, calcule o número esperado de clientes na fila da caixa expressa.

b. Determine a fmp marginal de X 1 .

c. Pela inspeção das probabilidades P ( X 1 = 4 ) , P ( X 2 = 0 ) , e P ( X 1 = 4 ,   X 2 = 0 ) , X 1 e X 2 são variáveis aleatórias independentes? Explique.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Vou deixar a fórmula da função de massa de probabilidade marginal.

Para a variável aleatória X é:

p X x = ∑ y p ( x ,   y )

Para a variável aleatória Y :

p Y y = ∑ x p ( x , y )

Então, podemos retornar a tabela do exercício 3 e definir os

Passo 2

Pela tabela, quando x = 0 , temos:

p X 1 0 = ∑ x 2 p 0 ,   x 2

= p 0 ,   0 + p 0 ,   1 + p 0 ,   2 + p ( 0 ,   3 )

= 0,08 + 0,07 + 0,04 + 0

= 0,19

De forma similar para x ∈ 1,2 , 3,4 .

p X 1 1 = ∑ x 2 p 1 ,   x 2

= p 1 ,   0 + p 1 ,   1 + p 1 ,   2 + p ( 1 ,   3 )

= 0,0 6 + 0 , 15 + 0,0 5 + 0 , 04

= 0 , 3

p X 1 2 = ∑ x 2 p 2 ,   x 2

= p 2 ,   0 + p 2 ,   1 + p 2 ,   2 + p ( 2 ,   3 )

= 0,0 5 + 0 , 04 + 0 , 1 + 0 , 06

= 0 , 25

p X 1 3 = ∑ x 2 p 3 ,   x 2

= p 3 ,   0 + p 3 ,   1 + p 3 ,   2 + p ( 3 ,   3 )

= 0 + 0,0 3 + 0 , 04 + 0,0 7

= 0 , 14

p X 1 4 = ∑ x 2 p 4 ,   x 2

= p 4 ,   0 + p 4 ,   1 + p 4 ,   2 + p ( 4 ,   3 )

= 0 + 0,0 1 + 0,0 5 + 0,0 6

= 0,1 2

Logo, encontramos a fmp marginal de X 1 .

O valor esperado para uma variável aleatória discreta como o do exemplo tem a seguinte fórmula:

E X = μ X = ∑ X ∈ S x ∙ p ( x )

Portanto, o valor fica:

E X 1 = 0 ∙ p X 1 0 + 1 ∙ p X 1 1 + 2 ∙ p X 1 2 + 3 ∙ p X 1 3 + 4 ∙ p X 1 4

= 0 ∙ 0,19 + 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,25 + 3 ∙ 0,14 + 4 ∙ 0,12

E X 1 = 1,7

Passo 3

Assim como fizemos na letra (a), agora calculando o pmf para X 2 .

p X 2 0 = ∑ x 2 p x 1 ,   0

= p 0 ,   0 + p 1 ,   0 + p 2 ,   0 + p 3 ,   0 + p ( 4,0 )

= 0,08 + 0,0 6 + 0,0 5 + 0 + 0

= 0,19

p X 2 1 = ∑ x 2 p x 1 ,   1

= p 0 ,   1 + p 1 ,   1 + p 2 ,   1 + p 3 ,   1 + p ( 4 ,   1 )

= 0 , 3

p X 2 2 = ∑ x 2 p x 1 ,   2

= p 0 ,   2 + p 1 ,   2 + p 2 ,   2 + p 3 ,   2 + p ( 4 , 2 )

= 0 , 28

p X 2 3 = ∑ x 2 p x 1 ,   3

= p 0 ,   3 + p 1 ,   3 + p 2 ,   3 + p 3 ,   3 + p ( 4 ,   3 )

= 0 , 23

Passo 4

Para que as variáveis sejam independentes, a seguinte equação tem que ser respeitada:

p x , y = p X ( x ) ∙ p Y ( y )

Calculando os dois lados da equação para o nosso exemplo:

P X 1 = 4 = p X 1 4 = 0,12

P X 2 = 0 = p X 1 0 = 0,1 9

Do outro lado temos:

P X 1 = 4 ,   X 2 = 0 = p 4 ,   0 = 0

Logo, temos a seguinte equação:

0 = 0,12 ∙ 0,19

Então, como a igualdade não se verifica, as variáveis são dependentes.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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