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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 25

Sejam X 1 ,   X 2 ,   … , X n variáveis aleatória com densidade conjunta f e considere as variáveis Y 1 , … , Y n definidas por:

Y i = ∑ j = 1 n a i j X J ,   i = 1 , … , n , onde a matriz A = ( a i j ) tem determinante diferente de zero.

a) verifique que Y 1 , … ,   Y n tem densidade conjunta f y 1 , … ,   y n dada por:

f y 1 , … ,   y n y 1 , … , y n = 1 det ⁡ A f ( x 1 , … ,   x n )

b) determine a distribuição conjunta de X 1 ,   X 2 , … , X n sabendo que as variáveis X 1 ,   X 2 - X 1 , … , X n - X n - 1 são independentes e tem todas a mesma distribuição N ( 0,1 )

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas sejam X 1 ,   X 2 ,   … , X n variáveis aleatória com densidade conjunta f e considere as variáveis Y 1 , … , Y n definidas por:

Y i = ∑ j = 1 n a i j X J ,   i = 1 , … , n , onde a matriz A = ( a i j ) tem determinante diferente de zero.

a) verifique que Y 1 , … ,   Y n tem densidade conjunta f y 1 , … ,   y n dada por:

f y 1 , … ,   y n y 1 , … , y n = 1 det ⁡ A f ( x 1 , … ,   x n )

b) determine a distribuição conjunta de X 1 ,   X 2 , … , X n sabendo que as variáveis X 1 ,   X 2 - X 1 , … , X n - X n - 1 são independentes e tem todas a mesma distribuição N ( 0,1 )

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera para determinarmos os itens selecionados temos que destacar os itens fornecidos em que,

X 1 ,   X 2 , … , X n →   variáveis aleatórias com y definida por,

y i = ∑ j = 1 n a i j X j

Tendo na letra (a) para verificar que Y 1 , … , Y n com o conjunto,

f Y 1 , … , Y n y 1 , … , y n = 1 det ⁡ A f ( x 1 , … , x n )

Ficando,

f Y 1 , … , Y n y 1 , … , y n = 1 det ⁡ A f ( Y 1 , … , Y n y 1 , … , y n )

Com,

f Y 1 , … , Y n y 1 , … , y n = 1 , temos

f Y 1 , … , Y n y 1 , … , y n = 1 | det ⁡ A |

Já na letra (b) para determinar a distribuição de X 1 ,   X 2 , … , X n com distribuição N ( 0,1 )

∫ ∫ g - 1 ( A ) F x ( x 1 , x 2 ) d x 1 d x 2  

Definindo,

∫ ∫ ( 0,1 ) f x 1 , x 2 , … , x n → f x 1 , x 2 , … , x n = g 1 - 1 x 1 , x 2 ,   g 2 - 2 x 1 , x 2 , … ,   g n - 1 ( x 1 , x 2 )

Ficando,

f x 1 , x 2 , … , x n = g n - 1 ( x )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) f Y 1 , … , Y n y 1 , … , y n = 1 | det ⁡ A |

b) f x 1 , x 2 , … , x n = g n - 1 ( x )

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