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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 8

Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma moeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em sequência. Se sair cara toda vez, qual será a probabilidade de que seja a moeda de duas caras?

Passo 1

Esse é um problema clássico em que vamos usar o teorema de Bayes:

P A B = P B A   P A P B

Essa fórmula relaciona a probabilidade condicional de A acontecer dado que B aconteceu com a probabilidade condicional inversa de B acontecer dado que A aconteceu.

Nesse caso, queremos calcular:

P m o e d a   2   c a r a s     4   c a r a s ) = P 4   c a r a s   m o e d a   2   c a r a s )   P m o e d a   2   c a r a s P 4   c a r a s

Passo 2

É fácil perceber que

P 4   c a r a s   m o e d a   2   c a r a s ) = 1

Afinal, tirando a moeda de 2 caras todos os lançamentos serão caras. Além disso, como temos três moedas:

P m o e d a   2   c a r a s = 1 3

Só falta achar P 4   c a r a s . Primeiro temos que escolher a moeda: existe 1 / 3 de chace de escolher a moeda de duas caras e 2 / 3 de escolher as moedas normais. Escolhendo a moeda de duas caras a probabilidade de sair 4 caras é 1 , enquanto escolhendo uma moeda normal, a probabilidade de sair quatro caras é 1 2 4 . Assim,

P 4   c a r a s = 1 3 ⋅ 1 + 2 3 ⋅ 1 2 4 = 1 3 + 2 48 = 9 24

Passo 3

Daí é só fazer conta:

P m o e d a   2   c a r a s     4   c a r a s ) = 1 ⋅ 1 3 9 24 = 1 3 ⋅ 24 9

Assim,

P m o e d a   2   c a r a s     4   c a r a s ) = 8 9

Resposta

P m o e d a   2   c a r a s     4   c a r a s ) = 8 9

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