Enunciado
Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios Suplementares - Ex. 87
a. Use a fórmula geral da variância de uma combinação linear para escrever uma expressão para . Então, seja , e mostre que . [Sugestão: a variância sempre é , e .]
b. Considerando , conclua que .
c. Use o fato de somente se for uma constante para mostra que somente se .
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Nessa questão, vamos precisar provar algumas identidades, nada demais!! Temos apenas que usar algumas fórmulas prontas e usar as dicas do enunciado. Bora lá!!!
Passo 2
Para a variância, podemos escrever a seguinte relação:
Onde, .
Substituindo na equação da variância.
Como o enunciado nos diz que . O seguinte é verdadeiro.
Então, temos duas condições para ser maior ou igual a zero.
E a segunda condição pode ser escrita como:
Passo 3
Para a variância, podemos escrever a seguinte relação:
Onde, .
Substituindo na equação da variância.
Como o enunciado nos diz que . O seguinte é verdadeiro.
Então, temos duas condições para ser maior ou igual a zero.
E a segunda condição pode ser escrita como:
Passo 4
Por fim, supondo que , temos:
Para quaisquer variáveis aleatórias e .
Logo, o seguinte é verdadeiro.
Ou, de forma equivalente:
Resposta
Todas as relações foram provadas.