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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 60

Os seguintes dados representam as notas de quí­

mica para uma amostra aleatória de 12 calouros de certa

universidade juntamente com suas pontuações em um

teste de inteligência administrado enquanto ainda estavam no ensino médio:

(a) Calcule e interprete o coeficiente de correlação

amostrai.

(b) Enuncie as suposições necessárias sobre as variáveis

aleatórias.

(c) Teste a hipótese de que p = 0,5 contra a alternativa

de que p > 0,5. Use um valor P em sua conclusão.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) Deixe y = o grau de química e x = a pontuação do teste. Calculamos o coeficiente de correlação entre as variáveis dadas x e y .

r = S x y S x x S y y

Onde,

S x y = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ y i - y ‾ = 603.75 S x x = ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2 = 672.9167 S y y = ∑ i = 1 n     y i - y ‾ 2 = 728.25

Agora encontramos o coeficiente de correlação,

r   = S x y S x x S y y   = 603.75 ( 672.9167 ) ( 728.25 )   = 0.862

Um coeficiente de correlação de 0.862 indica uma boa relação linear entre x e y . Uma vez que r 2 = . 862 2 = 0.7438 , , podemos dizer que aproximadamente 74.38 % da variação nos valores de y é explicada por uma relação linear com x .

Passo 2

(b) Em muitas aplicações de técnicas de regressão, é mais realista assumir que ambas e são X variáveis aleatórias e que as medidas são Y observações de uma população com a distribuição normal bivariada. x i , y i ; i = 1,2 , … , n

Passo 3

(c) Realizamos um teste de coeficiente de correlação.

  1. H 0 : ρ = 0.5
  2. H a : ρ > 0.5
  3. Nível de significância, α = 0.05 (padrão)
  4. Região crítica: p -value < α
  5. Estatística de teste:

z   = n - 3 2 l n ⁡ ( 1 + r ) 1 - ρ 0 ( 1 - r ) 1 + ρ 0   = 12 - 3 2 l n ⁡ ( 1 + 0.862 ) ( 1 - 0.5 ) ( 1 - 0.862 ) ( 1 + 0.5 )   = 9 2 l n ⁡ ( 1 + 0.862 ) ( 9.5 ) ( 1 - 0.862 ) ( 1.5 )   = 1.5 [ l n ⁡ ( 4.4976 ) ]   = 1.5 ( 1.5035 )   = 2.26

Descobrimos que o p teste -value right-tailed é

p -value    = P ( Z > 2.26 )   = 1 - P ( Z < 2.26 )   = 1 - 0.9881   = 0.0119

  1. Decisão: o valor de p é menor do que qualquer nível de significância, rejeitamos a hipótese nula. Há certamente alguma evidência de que o coeficiente de correlação excede 0.5 .

Resposta

Resposta nos passos.

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