Seja X 1 , X 2 , … , X n , a amostra aleatória de uma distribuição exponencial com parâmetro λ . Então, pode-se mostrar que 2 λ ∑ X i possui distribuição qui-quadrado com ν = 2 n (mostrando primeiro que 2 λ X i possui uma distribuição qui-quadrado com ν = 2 ).

a. Use esse fato para obter uma estatística de teste e a região de rejeição que, juntas, especifiquem um teste nível α para H 0 : μ = μ 0 , versus cada uma das três altemativas comumente encontradas. [Sugestāo: E X i = μ = 1 / λ , assim, μ = μ 0 , é equivalente a λ = 1 / μ 0 .]

b. Suponha que dez componentes idênticos, cada um com tempo exponencialmente distribuído até falhar, sejam testados. Os tempos de falha resultantes são:

95 16 11 3 42 71 225 64 87 123

Use o procedimento de teste da parte (a) para decidir se os dados sugerem fortemente que a vida útil média real é menor que o valor de 75 alegado anteriormente.

Passo 1

a. Quando H o é verdadeiro, 2 λ o Σ X i = 2 ∑ X i μ o tem uma distribuição qui-quadrado com df=2n. Se a alternativa for   H a : μ > μ o ,, grandes valores estatísticos de teste (grande Σ x i , já que x ‾ é grande) sugerem que H 0 seja rejeitado em favor de H a , rejeitando assim quando 2 ∑ X i μ o ≥ χ α , 2 n 2 dá um teste com nível de significância α. Se a alternativa for H a : μ < μ o , rejeitar quando 2 ∑ X i μ o ≤ χ 1 - α , 2 n 2 dá um teste de nível α. A região de rejeição para H a : μ ≠ μ o é 2 ∑ X i μ o ≥ χ α / 2,2 n 2 ou ≤ χ 1 - α / 2,2 n 2

Passo 2

b.   H o : μ = 75 vs H a : μ < 75 . O valor da estatística de teste é 2 ( 737 ) 75 = 19.65 . No nível .01, H o é rejeitado se   2 ∑ X i μ o ≤ χ . 99,20 2 = 8.260 . Claramente 19,65 não está na região de rejeição, então H o não deve ser rejeitado. Os dados de amostra não sugerem que a vida útil média real seja menor do que o valor reivindicado anteriormente.

Resposta

a . Se a alternativa for H a : μ < μ o , rejeitar quando 2 ∑ X i μ o ≤ χ 1 - α , 2 n 2 dá um teste de nível α. A região de rejeição para H a : μ ≠ μ o é 2 ∑ X i μ o ≥ χ α / 2,2 n 2 ou ≤ χ 1 - α / 2,2 n 2

b. Os dados de amostra não sugerem que a vida útil média real seja menor do que o valor reivindicado anteriormente.

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