Seja X1, ..., Xm, uma amostra aleatória de uma distribuição de Poisson com parâmetro 1 e por Y1, ..., Yn uma amostra aleatória de outra distribuição de Poisson com parâmetro 2. Desejamos testar H0: 1 2 0 contra uma das três alternativas-padrão. Uma vez que para uma distribuição de Poisson, quando m e n são grandes, pode ser usado o teste z de amostra grande da Seção 9.1. Entretanto, o fato de V(X) /n sugere que um denominador diferente deve ser usado na padronização de X Y. Desenvolva um procedimento de teste de amostra grande apropriado para este problema e aplique-o aos dados a seguir para testar se as densidades de mudas de uma determinada espécie são iguais em duas regiões diferentes (onde cada observação é o número de mudas encontradas em um quadrante de amostragem quadrada localizado aleatoriamente com área de 1 m2 ; assim, para a região l, existem 40 quadrantes em que uma muda foi observada etc.):

Passo 1

Proposição: Para uma variável aleatória X com Distribuição de Poisson com parâmetro μ > 0 , o seguinte é verdadeiro

E X = V X =   μ

Como mencionado,

V X - = μ n

O desvio padrão para X - - Y - pode ser calculado como

σ X - - Y - = V X - - Y - =   V X - + V Y -

=   μ 1 m + μ 2 n

Para formar uma estatística de teste, o desvio padrão precisa ser estimado. Primeira estimativa μ 1 e μ 2 , como de costume, com

μ 1 ^ = X - ;

u 2 ^ = Y -

Passo 2

Isso produz estatística de teste com distribuição normal padrão (para m e n grandes)

Z = X - - Y - μ 1 ^ m +   μ 2 ^ n

A tabela a seguir resume os dados para realizar este teste

A média amostral para o número de plantas na região 1 é

x - = λ 1 ^ = 1 125 0 + 40 + 56 + … + 7 = 1.616

e para a região é

y - = λ 2 ^ = 1 140 0 + 25 + 60 + … + 7 = 2.557

O valor da estatística z é

z = 1.611 - 2.557 1.616 125 + 2.557 140 = - 5.3

Dependendo da hipótese alternativa, o valor de P seria diferente. A hipótese alternativa de interesse é H a   :   μ 1   ≠   μ 2 ; assim o valor de PP é duas vezes a área sob a curva zz à direita do valor |z|

P = 2 P Z > 5.3 = 2 ∙ 0 = 0

Então rejeitar hipótese nula em qualquer nível de significância razoável. O valor foi calculado usando software (você pode usar a tabela no apêndice.

Resposta

Rejeitar hipótese nula.

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