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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 58

Seja por X 1 , X 2 , … , X n a amostra aleatória de uma distribuição de probabilidade contínua que tem mediana μ → (de modo que P X i ≤ μ ˜ = P X i ≥ μ ˜ = 0,5 ).a. Mostre que

P m   X i < μ ˜ < m a ́ x ⁡ X i = 1 - 1 2 n - 1

para que (mín x i , máx x i ) seja um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % de μ ˜ c o m ⁡ α = 1 2 n - 1 . [Sugestāo: o complemento do evento m i n X i < μ ˜ < m a ́ x ⁡ X i é m a ́ x ⁡ X i ≤ μ ˜ ∪ m i n X i ≥ μ ¨ . Mas m a ́ x ⁡ X i ≤ μ ˜ se é somente se X i ≤ μ ˜ para todos os i .]b. Para cada um dos seis meninos normais, a quantidade do aminoácido alanina ( m g / 100   m L ) foi determinada enquanto as crianças estavam em uma dieta sem isoleucina, resultando nos seguintes dados:

2,84     3,54     2,80     1,44     2,94     2,70

Calcule o IC de 97 % da quantidade mediana real de alanina das crianças nessa dieta ("The Essential Amino Acid Requirements of Infants," Amer. J. Nutrition, 1964, p. 322-330).c. Seja x ( 2 ) o segundo menor x i e x ( n - 1 ) o segundo maior x i . Qual é o coeficiente de confiança do intervalo x ( 2 ) , x ( n - 1 ) para μ ˜ ?

Passo 1

a.

P m i n X i ≤ μ ˜ ≤ m a x X i = 1 - P μ ˜ , < m i n X i or m a x X i < μ ˆ = 1 - P μ ˜ , < m i n X i - P m a x X i < μ ˜ = 1 - P μ ˜ < X 1 , … , μ ˜ < X n - P X 1 < μ ˜ , … , X n < μ ˜ = 1 - ( . 5 ) n - ( . 5 ) n = 1 - 2 ( . 5 ) n - 1 , do qual segue o intervalo de confiança

.

Passo 2

b. Uma vez que m i n x i = 1.44 e m a x x i = 3.54 , o C.I é ( 1.44,3.54 ) .

Passo 3

c.

P X ( 2 ) ≤ μ ˜ ≤ X ( n - 1 ) = 1 - P μ ˜ , < X ( 2 ) - P X ( n - 1 ) < μ ˜ = 1 - P( no máximo um X I está abaixo de μ ˜ -P( no máximo um X I   I excede μ ˜ ) 1 - ( . 5 ) n - n 1 ( . 5 ) 1 ( . 5 ) n - 1 - ( . 5 ) n - n 1 ( . 5 ) n - 1 ( . 5 ) = 1 - 2 ( n + 1 ) ( . 5 ) n = 1 - ( n + 1 ) ( . 5 ) n - 1

Assim, o coeficiente de confiança é 1 - ( n + 1 ) ( . 5 ) n - 1 ,, ou de outra forma, a 100 1 - ( n + 1 ) ( . 5 ) n - 1 % intervalo de confiança.

Resposta

a . 1 - ( . 5 ) n - ( . 5 ) n = 1 - 2 ( . 5 ) n - 1 , do qual segue o intervalo de confiança

b. ( 1.44,3.54 ) .

c. 1 - ( n + 1 ) ( . 5 ) n - 1

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