Enunciado

Seja X1, X2,... Xn uma amostra aleatória de tamanho n proveniente de uma população com média mi e variância sigma ^2.

  1. Mostre que é um estimador tendencioso para mi^2.
  2. Encontre a quantidade de tendenciosidade nesse estimador.
  3. o que acontece a tendência à medida que eu tamanho da amostra n aumenta?

Passo 1

Seja X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com média μ e variância σ 2 .

Letra a:

Vamos mostrar que X _ 2 é um estimador tendencioso para μ 2 .

E ( X _ 2 ) = E 1 n ∑ i = 1 n X i 2

= 1 n 2 E ∑ i = 1 n X i 2 + 2 ∑ i < j = 1 n X i X j

E 2 ∑ i < j = 1 n X i X j = 2 n ( n - 1 ) 2 μ 2

= n ( n - 1 ) μ 2

= 1 n 2 [ n μ 2 + n σ 2 + n ( n - 1 ) μ 2 ]

= μ 2 n + σ 2 n + μ 2 - μ 2 n

μ 2 + σ 2 n

Então, X _ 2 é um estimador tendencioso para μ 2

Passo 2

Letra b:

Vamos encontrar a quantidade tendenciosa neste estimador:

= E ( X _ 2 ) - E ( X _ ) 2

= μ 2 + σ 2 n - μ 2 = σ 2 n

Passo 3

Letra c:

Conforme o tamanho da amostra aumenta, à medida que a tendência diminui.

Resposta

  1. E ( X _ 2 ) = μ 2 + σ 2 n
  2. Tendência= σ 2 n
  3. Conforme o tamanho da amostra aumenta, à medida que a tendência diminui.
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