Seja calcule:
(f) a variância de
Passo 1
Antes de começar, é muito importante que você se lembre da seguinte propriedade da variância:
Ou seja, precisamos obter:
Como já obtivemos na letra E dessa questão, só precisamos da esperança de , dada por:
Lembrando sempre que a função densidade nessa questão foi definida assim:
Passo 2
Então precisamos do seguinte:
Perceba que, quando , nos resta:
Tudo indica que precisaremos fazer duas integrações por partes, bora na fé:
Definindo o seguinte:
Então,
De bate e pronto, note que o primeiro termo é zero, pois:
Logo, ficamos com o seguinte:
Agora, para :
Novamente:
Mais uma vez o primeiro termo zera, e ficamos com:
Passo 3
Ou seja,
Concluimos que,
Retomando na variância:
Portanto,
E por ultimo, retomando em
Resposta
Então encontramos que