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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 60

Seja 0 ≤ γ ≤ α . Então,o IC de 100 ( 1 - α ) para μ quando n for grande é

x ‾ - z γ ⋅ s n , x ‾ + z α - γ ⋅ s n

A escolha γ = α / 2 produz o intervalo usual encontrado na Seção 7.2; se γ ≠ α / 2 , esse intervalo não é simétrico em tomo de x ‾ .   A   A amplitude desse intervalo é w = s z γ + z α - γ / n . Mostre que w é minimizado para γ = α / 2 , de modo que o intervalo simétrico é o menor. [Sugestōes: (a) pela definição de z α , Φ z α = 1 - α , de modo que z α = Φ - 1 ( 1 - α ) ; (b) a relação entre a derivada de uma função y = f ( x ) e a função inversa x = f - 1 ( y ) é ( d / d y ) f - 1 ( y ) = 1 / f ' ( x ) .

Passo 1

E aí pessoal, tudo certo? O exercício pede que a gente Mostre que w é minimizado para γ = α / 2 , de modo que o intervalo simétrico é o menor.

A duração do intervalo é de:

z γ + z α - γ s n , z γ + z α - γ

Passo 2

que é minimizado quando

Φ - 1 ( 1 - γ ) + Φ - 1 ( 1 - α + γ ) é minimizado.

Tomando d/dγ e igualando a 0 produz:

1 Φ ( 1 - γ ) = 1 Φ ( 1 - α + γ )

onde Φ(∙) é a normal padrão p.d.f., de onde γ = α 2 .

Resposta

γ = α 2 .

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