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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 30

Considere a variável X com distribuição Bernoulli de parâmetro p . Uma amostra aleatória de tamanho 2 é retirada com o objetivo de estimar a média de X . Dois estimadores são propostos: μ 1 ^ = X - e μ 2 ^ = 0,8 X 1 + 0,2 X 2 . Obtenha a distribuição amostral desses estimadores em função de p e discuta suas propriedades.

Passo 1

Primeiro, note que

μ 1 ^ = 0,5 X 1 + 0,5 X 2

μ 2 ^ = 0,8 X 1 + 0,2 X 2

Como X é uma variável que obdece uma distribuição de Bernoulli, temos que

X i = 1 → p r o b a b i l i d a d e   p

X i = 0 → p r o b a b i l i d a d e   1 - p

Temos quatro cenários possíveis:

Com isso, conseguimos construir as distribuições para os estimadores:

P μ 1 ^ = 1 = p 2 ,               P μ 1 ^ = 0,5 = 2 p 1 - p             e           P μ 1 ^ = 0 = 1 - p 2

P μ 2 ^ = 1 = p 2 ,           P μ 2 ^ = 0,8 = P μ 2 ^ = 0,2 = p 1 - p           e         P μ 2 ^ = 0 = 1 - p 2

Passo 2

Com isso,

E μ 1 ^ = 1 ⋅ p 2 + 0,5 ⋅ 2 p 1 - p + 0 ⋅ 1 - p 2

E μ 1 ^ = p 2 + p - p 2 = p

Da mesma forma,

E μ 2 ^ = 1 ⋅ p 2 + 0,8 ⋅ p 1 - p + 0,2 p 1 - p + 0 ⋅ 1 - p 2

E μ 2 ^ = p

Vemos que os dois estimadores têm o mesmo valor esperado, o que já devia ser imaginado, pois

E μ 1 ^ = E 0,5 X 1 + 0,5 X 2 = 0,5   E X 1 + 0,5   E X 2 = E X i

E μ 2 ^ = E 0 , 8 X 1 + 0 , 2 X 2 = 0 , 8   E X 1 + 0 , 2   E X 2 = E X i

Isso tudo vale pois

E X 1 = E X 2

Resposta

P μ 1 ^ = 1 = p 2 ,               P μ 1 ^ = 0,5 = 2 p 1 - p             e           P μ 1 ^ = 0 = 1 - p 2

P μ 2 ^ = 1 = p 2 ,           P μ 2 ^ = 0,8 = P μ 2 ^ = 0,2 = p 1 - p           e         P μ 2 ^ = 0 = 1 - p 2

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