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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 6

Seja X número de câmeras digitais Canon vendidas durante uma determinada semana por uma loja. A fmp de X é

Sessenta por cento de todos os clientes que compram essas câmeras também compram uma garantia estendida. Seja Y o número de compradores que durante essa semana adquiriram garantia estendida.

a. Qual é P ( X = 4 ,   Y = 2 ) ? [Sugestão: essa probabilidade é igual a P Y = 2     X = 4 )   P ( X = 4 ) ; imagine agora que as quatro compras sejam quatro tentativas de um experimento binomial, com sucesso em uma tentativa correspondente à aquisição de uma garantia estendida].

b. Calcule P ( X = Y ) .

c. Determine a fmp conjunta de X e Y e, depois, a fmp marginal de Y .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão, precisamos usar a fórmula abaixo:

P Y = k = n C k ∙ p k ∙ 1 - p n - k

= n ! k ! n - k ! ∙ p k ∙ 1 - p n - k

A equação que vimos acima, é a definição de probabilidade binomial. Bora para a resolução!!

Passo 2

Para a letra (a), usando a equação que vimos no Passo 1.

P Y = 2     X = 4 ) = 4 ! 2 ! 4 - 2 ! ∙ 0,6 2 ∙ 1 - 0,6 4 - 2

P Y = 2     X = 4 ) = 0,3456

Usando a regra geral de multiplicação:

P A   e   B = P A × P B A = P ( B ) × P ( A | B )

Logo,

P X = 4 ,   Y = 2 = P ( X = 4 ) × P ( Y = 2 | X = 4 )

= 0,15 × 0,3456

P X = 4 ,   Y = 2 = 5,184 %

Passo 3

Vamos usar novamente a definição do Passo 1, mas agora X = n e Y = k = n ;

P Y = 0     X = 0 ) = 0 ! 0 ! 0 - 0 ! ∙ 0,6 2 ∙ 1 - 0,6 0 - 0 = 1

P Y = 1     X = 1 ) = 1 ! 1 ! 1 - 1 ! ∙ 0,6 2 ∙ 1 - 0,6 1 - 1 = 0,6

P Y = 2     X = 2 ) = 2 ! 2 ! 2 - 2 ! ∙ 0,6 2 ∙ 1 - 0,6 2 - 2 = 0,36

P Y = 3     X = 3 ) = 3 ! 3 ! 3 - 3 ! ∙ 0,6 2 ∙ 1 - 0,6 3 - 3 = 0,216

P Y = 4     X = 4 ) = 4 ! 4 ! 4 - 4 ! ∙ 0,6 2 ∙ 1 - 0,6 4 - 4 = 0,1296

Pela regra geral da multiplicação:

P X = 0 ,   Y = 0 = P X = 0 × P Y = 0 X = 0 = 0,1 × 1 = 0,1

P X = 1 ,   Y = 1 = P X = 1 × P Y = 1 X = 1 = 0 , 2 × 0,6 = 0 , 12

P X = 2 ,   Y = 2 = P X = 2 × P Y = 2 X = 2 = 0 , 3 × 0,36 = 0,1 08

P X = 3 ,   Y = 3 = P X = 3 × P Y = 3 X = 3 = 0 , 25 × 0,216 = 0 , 054

P X = 4 ,   Y = 4 = P X = 4 × P Y = 4 X = 4 = 0,1 5 × 0,1296 = 0 , 01944

Agora somamos todas as probabilidades encontradas acima, pela regra da adição de eventos disjuntos.

P X = Y = 40,144 %

Passo 4

O pmf do conjunto de X e Y é o produto da distribuição condicional Y | X , com a distribuição binomial p = 0,6 e n = X ) e a probabilidade de distribuição de X .

p x , y = P ( X = x ) × P ( Y = y | X = x )

Calculando todos os valores possíveis de x e y que o pmf não resulta em zero, obtemos a tabela:

O pmf marginal é dado por todos os valores possíveis de x , quando Y = y . Logo, pode ser calculado da seguinte forma:

p Y 0 = p 0 ,   0 + p 1 ,   0 + p 2 ,   0 + p 3 ,   0 + p 4 ,   0 = 0,2478

p Y 1 = + p 1 ,   1 + p 2 ,   1 + p 3 ,   1 + p 4 ,   1 = 0,359

p Y 2 = + p 2 ,   2 + p 3 ,   2 + p 4 ,   2 = 0,2678

p Y 3 = p 3 ,   3 + p 4 ,   4 = 0,1058

p Y 0 = p 4 ,   4 = 0,0194

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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