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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 3

Um determinado mercado tem uma fila de caixa expressa e uma fila de caixa superexpressa. Represente por X 1 o número de clientes na fila da caixa expressa em um determinado horário do dia e por X 2 o número de clientes na fila da caixa superexpressa no mesmo horário. Suponha que a fmp conjunta de X 1 e X 2 seja dada na tabela a seguir.

a. Qual é P ( X 1 = 1 ,   X 2 = 1 ), isto é, a probabilidade de haver exatamente um cliente em cada fila?

b. Qual é P ( X 1 = X 2 ) , isto é, a probabilidade de os números de clientes nas duas filas serem iguais?

c. Represente por A o evento de haver no mínimo dois clientes a mais em uma fila do que na outra. Expresse A em termos de X 1 e X 2 , e calcule a probabilidade desse evento.

d. Qual é a probabilidade de o número total de clientes nas duas filas ser exatamente quatro? E no mínimo quatro?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos este exercício, precisamos apenas distribuir as probabilidades em p ( x , y ) e olharmos os valores correspondentes na tabela. Bora lá!!

Passo 2

A probabilidade pode ser analisada na tabela como primeira linha e primeira coluna. Sendo:

P X 1 = 1 ,   X 2 = 1 = p 1 ,   1 = 0,15

Passo 3

De novo usando a tabela para achar a probabilidade.

P X 1 = X 2 = p 0 ,   0 + p 1 ,   1 + p 2 ,   2 + p ( 3 ,   3 )

= 0,08 + 0,15 + 0,1 + 0,7

= 0,4

Passo 4

Podemos escrever o evento do enunciado como dois eventos:

X 1 ≥ 2 + X 2 e X 2 ≥ 2 + X 1

Logo, nós temos que:

A = X 1 ≥ 2 + X 2 ∪ X 2 ≥ 2 + X 1

O evento A pode ser representado na união de 9 eventos separados.

X 1 = x 1 , X 2 = x 1

Assim, podemos calcular a probabilidade.

P A = P X 1 ≥ 2 + X 2 ∪ X 2 ≥ 2 + X 1

= p 2 ,   0 + p 3 ,   0 + p 4 ,   0 + p 3 ,   1 + p 4 ,   1 + p 4 ,   2 + p 0 ,   2 + p 0 ,   3 + p 1 ,   3

= 0,05 + 0 + 0 + 0,03 + 0,01 + 0,05 + 0,04 + 0,04

= 0,22

Passo 5

Calculando a probabilidade de o número total de clientes nas duas filas ser quatro.

P X 1 + X 2 = 4 = p 1 ,   3 + p 2 ,   2 + p 3 ,   1 + p ( 4 ,   0 )

= 0,04 + 0,1 + 0,03 + 0

= 0,17

Calculando a probabilidade de ser no mínimo quatro clientes.

P X 1 + X 2 ≥ 4 = p 1 ,   3 + p 2 ,   2 + p 3 ,   1 + p 4 ,   0 + p 4 ,   1 + p 4 ,   2 + p 4 ,   3 + p 3 ,   2 + p 3 ,   3 + p ( 2 ,   3 )

= 0,46

Resposta

  1. P X 1 = 1 ,     X 2 = 1 = 0,15

  2. P X 1 = X 2 = 0 , 4 .

  3. P A = 0 , 22 .

  4. P X 1 + X 2 = 4 = 0 , 17 e P X 1 + X 2 ≥ 4 = 0,46 .

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