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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 94

94. Seja X o tempo até a falha (em anos) de certo componente hidráulico. Suponha que a fdp de X seja f(x) = 32/(x 4)³ para x > 0.

a. Demonstre que se f(x) é uma fdp legítima.

b. Determine a fdc.

c. Use o resultado da parte (b) para calcular a probabilidade de o tempo até a falha estar entre 2 e 5 anos.

d. Qual é o tempo esperado até a falha?

e. Se o componente tiver valor residual de 100/(4 + x), quando o tempo até a falha for x, qual será o valor residual esperado?

Passo 1

Fala galerinha boa! Tudo bem com vocês? Vamos fazer mais um exercício.

Na letra a:

P a r a   x > 0 ,     F x = ∫ - ∞ x 32 ( y + 4 ) ³ d y = 1 - 16 x + 4 2

F(x) = 0 para x ≤ 0.

Como a integral acima nos limites - ∞ e ∞ resulta em 1, é uma legítima fdp.

Passo 2

Na letra b:

P a r a   x > 0 ,     F x = ∫ - ∞ x 32 ( y + 4 ) ³ d y = 1 - 16 x + 4 2

F(x) = 0 para x ≤ 0.

Passo 3

Na letra c:

P(2 ≤ X ≤ 5) = F(5) – F(2) = 1 – 16/81 – (1 – 16/81) = 0,247

Passo 4

Na letra d, o tempo esperado até a falha é:

E X = ∫ 0 ∞ x . 32 x + 4 3 d x = ∫ 0 ∞ x + 4 - 4 . 32 x + 4 3 d x

E X = ∫ 0 ∞ 32 x + 4 2 d x - 4 ∫ 0 ∞ 32 x + 4 3 d x = 8 - 4 = 4

Passo 5

Na letra e, o valor esperado residual será:

E v a l o r   r e s i d u a l = ∫ 0 ∞ 100 x + 4 . 32 x + 4 3 d x = 3200 ∫ 0 ∞ 1 y + 4 4 d x = 3200 3 * 64 = 16,67

Até a próxima, pessoal!

Resposta

  1. N o   p a s s o   1 .
  2. 1 - 16 x + 4 2
  3. 0,247
  4. 4
  5. 16,67

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