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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 27

Sejam A, B e C pertencentes a um mesmo espaço amostral. Mostre que:

  1. P A c B = 1 - P ( A | B ) .
  2. P A ∪ B C = P A C + P B C - P ( A ∩ B | C ) .
  3. S e   B = A c   e n t ã o   P A ∪ B C = 1 .
  4. P A ∪ B ∪ C = P A + P B + P C - P A ∩ B - P A ∩ C - P B ∩ C + P ( A ∩ B ∩ C ) .

Passo 1

Resolvendo (a), teremos que, se assumirmos

P A B = P A ∩ B P B = P A × P B P B                 ( 1 )

e que

P A c B = P A c ∩ B P B = 1 - P A × P B P B             ( 2 )

Note que podemos substituir (1) em (2), assim teremos:

P A c B = 1 - P ( A | B )  

Passo 2

Em (b), vamos considerar que

P A ∪ B = P A + P B - P ( A ∩ B )

Assim, analogamente, teremos que:

P A ∪ B C = P A C + P B C - P A ∩ B C

Passo 3

Em (c) temos B = A c , vamos substituir então B   por A c em P ( A ∪ B | C ) , assim, teremos que:

P ( A ∪ A c | C )

Por definição, teremos que P A ∪ A c = 1 , daí

P 1 C = 1 = P A ∪ A c C = P ( A ∪ B | C )

Passo 4

Em (d) temos, P A ∪ B ∪ C = P A + P B + P C - P A ∩ B - P A ∩ C - P B ∩ C + P ( A ∩ B ∩ C ) , desenvolvendo vamos ter:

P A ∪ B ∪ C = P A ∪ B ∪ C = P A ∪ B = P C - P A ∪ B ∩ C = P A ∪ B + P C - P A ∩ C ∪ P B ∩ C = P A + P B - P A ∩ B + P C - P A ∩ C - P B ∩ C + P A ∩ B ∩ C = P A + P B + P C - P A ∩ B - P A ∩ C - P B ∩ C + P ( A ∩ B ∩ C )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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