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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 26

Sejam X   e   Y variáveis aleatórias com função de densidade conjunta

f x = { 4 x y ,     0 < x ; y < 1   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o  

Determine o valor de Z = X 2 + Y 2

Passo 1

Fala galera, tranquilo? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Primeiro vamos relembrar que: E g ( x ) = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ g x , y f ( x , y ) d x d y

Nesse item queremos E Z = E ( X 2 + Y 2 )

E X 2 + Y 2 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 x y x 2 + y 2 d x d y

Show! agora simplesmente precisamos resolver essa integral dupla.

Passo 2

Resolvendo a integral:

E X 2 + Y 2 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 x y x 2 + y 2 d x d y = 4 3 ∫ 0 1 y 1 + y 2 3 2 - y 4 d y

Integrando ficamos com:

E X 2 + Y 2 = 4 3 ∫ 0 1 y 1 + y 2 3 2 - y 4 d y = 8 2 3 2 - 1 = 0,9752

Resposta

E X 2 + Y 2 = 0,9752

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