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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 40

Em relação ao Exercício 4.14, determine σ 2 g x para a função g X = 3 X 2 + 4 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Nesse exercício queremos σ 2 g x , primeiro vamos relembrar a fórmula de variância para uma função:

σ 2 = g X - E g X 2

Lembrando a função densidade de probabilidade do exercício 4.14:

f x = { 2 ( x + 2 ) 5 ,     0 < x < 1   0   ,     c a s o   c o n t r á r i o    

Passo 2

Vamos primeiro calcular E g X :

E g X = ∫ 0 1 3 x 2 + 4 2 ( x + 2 ) 5 d x

Vamos abrir esses termos e calcular essa integral de polinômios:

E g X = ∫ 0 1 6 x 3 + 12 x 2 + 8 x + 16   d x = 5,1

Passo 3

Agora temos tudo muito bem encaminhado, vamos voltar a nossa expressão original:

σ 2 = E g X - E g X 2 = ∫ 0 1 3 x 2 + 4 - 5,1 2 2 ( x + 2 ) 5 d x

Show! Agora temos tudo montadinho, só precisamos resolver essa integral e o exercício está terminado.

σ 2 = ∫ 0 1 3 x 2 + 4 - 5,1 2 2 ( x + 2 ) 5 d x = ∫ 0 1 9 x 4 - 6,6 x 2 + 1,21 2 ( x + 2 ) 5 d x

Resolvendo essa integral, como estamos trabalhando com uma integral de polinômios, basta separá-las e resolver uma-a-uma.

Resolvendo, chegaremos em:

σ 2 = 0,83

Resposta

σ 2 = 0,83

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