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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 3

Um sistema complexo é constituído de 100 componentes que funcionam independentemente. A probabilidade de que qualquer um dos componentes venha a falhar durante o período de operação é igual a 0,10. A fim de que o sistema completo funcione, ao menos 85 dos componentes devem trabalhar. Calcule a probabilidade de que isso aconteça. Suponha que o sistema seja constituído de n componentes, cada um deles tendo uma confiabilidade de 0,90. O sistema funcionará se ao menos 80 por cento dos componentes funcionarem adequadamente. Determine n, de maneira que o sistema tenha uma confiabilidade de 0,95.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos o nosso valor esperado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

P ( 85 ≤ X ≤ 100 )

P X ≥ 0,8 n = 0,95

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

P f A - p < ε ≥ 1 - δ

n ≥ p 1 - p ε 2 δ

E X = n p

V X = n p 1 - p

P X ≤ x = P x 1 - E X V X ≤ X - E X V X ≤ x 2 - E X V X

Com isso, podemos começar a pensar.

n = 100 →   E X = 90 V X = 9

P 85 ≤ X ≤ 100 = P - 1,67 ≤ z ≤ 3,33

P 85 ≤ X ≤ 100 = 0,952

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

P X ≥ 0,8 n = 0,95

E X = 0,9 n

V X = 0,09 n

P z ≥ - 0,1 n 0,3 n = 0,95

1,65 =   - 0,1 n 0,3 n

n = 24

Resposta

P 85 ≤ X ≤ 100 = 0,952

n = 24

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