Um sistema de engenharia formado por n componentes é chamado de "sistema k de n" () se ele funcionar se e somente se pelo menos k de n componentes estiverem funcionando. Suponha que todos os componentes funcionem de forma independente.

(a) Se o i-ésimo componente funcionar com probabilidade , i = 1, 2, 3, 4, calcule a probabilidade de que um sistema "2 de 4" funcione.

(b) Repita a letra (a) para um sistema "3 de 5”.

(c) Repita para um sistema "k de n" quando todos as probabilidades P, são iguais a p (isto é, , 1= 1, 2, ..., n).

Vamos denotar da seguinte forma , então nós temos que

Isso é por causa da independência de , vamos usar o princípio multiplicativo

Para a probabilidade de , temos que usar o seguinte teorema

Esse é um princípio baseado em aditividade, agora vamos atacar pela independência de

Esse termo se transformará em um produtório dentro do somatório

Com isso, nós temos

Temos 4 termos em P(B1) porque existem 4 maneiras de escolher 1 componente entre 4 componentes no sistema. A probabilidade de que um sistema de 2 em 4 funcione é

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

E finalmente, temos que

B – Vamos repetir o processo de nomear os eventos, que são exatamente esses aqui

e são eventos independentes. Nós precisamos encontrar então nós nomeamos os eventos

Então nós temos

Vamos denotar da seguinte forma , então nós temos que