Enunciado

Um site da internet de pequenos negócios tem 100 páginas, em que 60%, 30% e 10% das páginas contém baixo, moderado alto conteúdo gráfico, respectivamente. Uma amostra de quatro páginas é selecionada, sem reposição, e X e Y denota o número de páginas com moderada e alta saída gráfica na amostra. Determine

Passo 1

Seja X e Y o número de páginas com gráficos moderados e altos na amostra, respectivamente:

Letra a:

Para calcular a função de massa de probabilidade, observe que em 100 páginas, temos 4, e podemos fazer isso de C 4 100 maneiras. Os resultados que estamos procurando devem satisfazer X ≥ 0 ,   Y ≥ 0 e X + Y ≤ 4 . Basicamente, de 30, pegamos x, de 10 pegamos y e do resto, 60, obtemos 4 - x - y . Conclusão, a função de massa de probabilidade pode ser calculada como:

f X Y ( x , y ) = C 30 x × C 10 y × C 60 4 - x - y C 100 4

Multiplicando as probabilidades, obtemos f X Y ( x , y ) para cada x , y   ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 } , x + y ≤ 4 para outros a probabilidade é 0. Após o cálculo nós temos:

Passo 2

Letra b:

Calculamos a distribuição marginal pela definição:

P ( X = x ) = ∑ y ∈ R Y P ( X = x , Y = y )

Que significa que é uma soma das probabilidades em cada linha, ou podemos escrever como:

Passo 3

Letra c:

A expectativa matemática da variável aleatória discreta Y é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( X = x ) :

E ( X ) = ∑ x P ( X = x )

Usando a definição, nós temos:

E ( X ) = 1.2

Passo 4

Letra d:

Da definição de probabilidade condicional, temos:

P ( A | B ) = P ( A , B ) P ( B )

onde estão A e B são eventos, e P ( B ) > 0 . Podemos calcular para a função de massa também, então nós temos:

f Y | X = 3 ( y ) = f X Y ( 3 , y ) f X ( 3 )

onde sabemos que f X ( 3 ) = 0.0725 e todos os valores de f X Y ( 3 , y ) para cada y ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 } . Calculando o quociente, obtemos a distribuição, ou a função de massa:

Passo 5

Letra e:

Temos a definição acima, vamos usá-la:

E ( Y | X = 3 ) = 0.143

Passo 6

Letra f:

V ( X ) é a variância da variável aleatória X definida como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E ( X 2 ) - ( E ( X ) ) 2

Usando a definição da variável aleatória Y | X = 3 , nós temos:

V ( Y | X = 3 ) = 0.123

onde para calcular E ( X 2 ) observe que X 2 é uma variável aleatória discreta e que pode ser escrito como g ( X ) = X 2 nós sabemos que

E ( g ( X ) ) = ∑ x g ( x ) P ( X = x )

Passo 7

Letra g:

Podemos encontrar a distribuição marginal para Y e verificar as seguintes funções para cada x , y ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 } :

f X Y ( y ) = f X ( x ) f Y ( y )

Mas, uma vez que já calculamos Y | X = 3 , podemos notar que para y = 2:

f Y ( 2 )   ≠   0 ;

f Y | X = 3 ( 2 ) = 0 ;

que não é igual. Conclusão: eles não são independentes.

Resposta

  1. Ver resolução
  2. Ver resolução
  3. 1.2
  4. Ver resolução
  5. 0.143
  6. 0.123
  7. Não são independentes
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Consulte o Exercício 58 e suponha que os X i s sejam independentes com cada um tendo distribuição normal. Qual é a probabilidade de o volume total embarcado ser de no máximo 100.000 pé3?
Sejam X 1 ,X 2 ,. . .,X n variáveis aleatórias que representam n propostas independentes de um item que está à venda. Suponha que cada Xi seja uniformemente distribuído no intervalo [100, 200]. Se o v
Suponha que, para certo indivíduo, a ingestão de calorias no café da manhã seja uma variável aleatória com valor esperado de 500 e desvio padrão de 50, a ingestão de calorias no almoço seja aleatória
Vimos que, se E X 1 = E X 2 =... =E X n = μ , então, E X 1 + … + X N = n μ . Em algumas aplicações, o número de X i s considerados não é um número fixo n, mas uma va N . Por exemplo: sejam N = o númer
Seja μ o pH real de um composto químico. Será feita uma seqüência de n determinações independentes do pH da amostra. Suponha que o pH de cada amostra seja uma variável aleatória com valor esperado μ e