Um site da internet de pequenos negócios tem 100 páginas, em que 60%, 30% e 10% das páginas contém baixo, moderado alto conteúdo gráfico, respectivamente. Uma amostra de quatro páginas é selecionada, sem reposição, e X e Y denota o número de páginas com moderada e alta saída gráfica na amostra. Determine

Passo 1

Seja X e Y o número de páginas com gráficos moderados e altos na amostra, respectivamente:

Letra a:

Para calcular a função de massa de probabilidade, observe que em 100 páginas, temos 4, e podemos fazer isso de C 4 100 maneiras. Os resultados que estamos procurando devem satisfazer X ≥ 0 ,   Y ≥ 0 e X + Y ≤ 4 . Basicamente, de 30, pegamos x, de 10 pegamos y e do resto, 60, obtemos 4 - x - y . Conclusão, a função de massa de probabilidade pode ser calculada como:

f X Y ( x , y ) = C 30 x × C 10 y × C 60 4 - x - y C 100 4

Multiplicando as probabilidades, obtemos f X Y ( x , y ) para cada x , y   ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 } , x + y ≤ 4 para outros a probabilidade é 0. Após o cálculo nós temos:

Passo 2

Letra b:

Calculamos a distribuição marginal pela definição:

P ( X = x ) = ∑ y ∈ R Y P ( X = x , Y = y )

Que significa que é uma soma das probabilidades em cada linha, ou podemos escrever como:

Passo 3

Letra c:

A expectativa matemática da variável aleatória discreta Y é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( X = x ) :

E ( X ) = ∑ x P ( X = x )

Usando a definição, nós temos:

E ( X ) = 1.2

Passo 4

Letra d:

Da definição de probabilidade condicional, temos:

P ( A | B ) = P ( A , B ) P ( B )

onde estão A e B são eventos, e P ( B ) > 0 . Podemos calcular para a função de massa também, então nós temos:

f Y | X = 3 ( y ) = f X Y ( 3 , y ) f X ( 3 )

onde sabemos que f X ( 3 ) = 0.0725 e todos os valores de f X Y ( 3 , y ) para cada y ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 } . Calculando o quociente, obtemos a distribuição, ou a função de massa:

Passo 5

Letra e:

Temos a definição acima, vamos usá-la:

E ( Y | X = 3 ) = 0.143

Passo 6

Letra f:

V ( X ) é a variância da variável aleatória X definida como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E ( X 2 ) - ( E ( X ) ) 2

Usando a definição da variável aleatória Y | X = 3 , nós temos:

V ( Y | X = 3 ) = 0.123

onde para calcular E ( X 2 ) observe que X 2 é uma variável aleatória discreta e que pode ser escrito como g ( X ) = X 2 nós sabemos que

E ( g ( X ) ) = ∑ x g ( x ) P ( X = x )

Passo 7

Letra g:

Podemos encontrar a distribuição marginal para Y e verificar as seguintes funções para cada x , y ∈ { 0,1 , 2,3 , 4 } :

f X Y ( y ) = f X ( x ) f Y ( y )

Mas, uma vez que já calculamos Y | X = 3 , podemos notar que para y = 2:

f Y ( 2 )   ≠   0 ;

f Y | X = 3 ( 2 ) = 0 ;

que não é igual. Conclusão: eles não são independentes.

Resposta

  1. Ver resolução
  2. Ver resolução
  3. 1.2
  4. Ver resolução
  5. 0.143
  6. 0.123
  7. Não são independentes
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