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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios Suplementares - Ex. 81

Vimos que, se E X 1 = E X 2 =   .   .   . =   E X n = μ , então, E X 1 + … + X N = n μ . Em algumas aplicações, o número de X i s considerados não é um número fixo n, mas uma va N . Por exemplo: sejam N = o número de componentes levados a uma oficina em certo dia, e X i o tempo de reparo do i-ésimo componente. Então, o tempo de reparo total é X 1 + X 2 + … + X N , a soma de um número aleatório de variáveis aleatórias. Quando N for independente dos X i s, pode-se mostrar que

E X 1 + … + X N = E ( N ) ∙ μ

a. Se o número esperado de componentes levados em um dia for 10 e o tempo de conserto esperado de um componente enviado aleatoriamente for 40 min, qual é o tempo total esperado de conserto dos componentes enviados em um dia qualquer?

b. Suponha que certo tipo de componente chegue para conserto, de acordo com um processo de Poisson, com um índice de 5 por hora. O número esperado de defeitos por componente é 3,5. Qual é o valor esperado do número total de defeitos em componentes enviados para conserto durante um período de 4 horas? Certifique-se de indicar como sua resposta se desenvolve a partir do resultado geral dado.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Vamos acabar essa questão rapidinho, precisamos apenas organizar algumas equações que já estamos acostumados!! Bora láaa.

Passo 2

O número esperado de componentes que precisam de reparo é E N , e o tempo de reparo esperado é μ = 40 . Logo, o tempo total esperado é:

E X 1 + X 2 + … + X N = E N ∙ μ

= 10 ∙ 40

E X 1 + X 2 + … + X N = 400

Passo 3

A taxa que o enunciado nos deu é α = 5 por hora, e o intervalo de tempo t = 4 horas. Logo, o parâmetro da variável aleatória de Poisson é:

μ N = α ∙ t = 20

Para uma variável aleatória com distribuição de Poisson, a seguinte relação é verdadeira.

E X = V X = μ

Logo, o número esperado de componentes que precisam de reparo é:

E N = μ N = 20

E o número esperado de defeitos por componente é μ = 3,5 . Por fim, o número total esperado de defeitos é:

E N ∙ μ = 20 ∙ 3,5 = 70

Resposta

  1. E X 1 + X 2 + … + X N = 400

  2. E N ∙ μ = 70

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