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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios Suplementares - Ex. 79

Suponha que, para certo indivíduo, a ingestão de calorias no café da manhã seja uma variável aleatória com valor esperado de 500 e desvio padrão de 50, a ingestão de calorias no almoço seja aleatória com valor esperado de 900 e desvio padrão de 100, e a ingestão de calorias no jantar seja uma variável aleatória com valor esperado de 2000 e desvio padrão de 180. Assumindo que os consumos nas diferentes refeições sejam independentes, qual é a probabilidade de a ingestão média diária de calorias durante o ano seguinte (365 dias) ser de no máximo 3500? [Sugestão: sejam X i , Y i , e Z i as três ingestões de calorias no dia   i . Então, a ingestão total é dada por ∑ ( X i + Y i + Z i )   .]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? A ingestão total é calculada da seguinte forma:

T = ∑ i = 1 365 X i + Y i + Z i

A variável aleatória de interesse é a ingestão média por dia durante os 365 dias, logo:

1 365 T

Sendo assim, o valor esperado é definido por:

E 1 365 T = E ∑ i = 1 365 X i + Y i + Z i

= 1 365 ∑ i = 1 365 E X i + ∑ i = 1 365 E Y i + ∑ i = 1 365 E Z i

= 1 365 365 ∙ 500 + 365 ∙ 900 + 365 ∙ 2000

E 1 365 T = 3400

Ainda precisamos calcular a variância, que é dada como:

V 1 365 T = V ∑ i = 1 365 X i + Y i + Z i

= 1 365 2 ∑ i = 1 365 E X i + ∑ i = 1 365 E Y i + ∑ i = 1 365 E Z i

= 1 365 2 365 ∙ 50 2 + 365 ∙ 100 2 + 365 ∙ 180 2

V 1 365 T = 123,014

E o desvio padrão é a raiz da variância.

σ = 123,014 = 11,09

Por fim, a probabilidade de que a ingestão média de calorias por dia no próximo ano seja no máximo 3500 é:

P 1 365 T ≤ 3500 = P T / 365 - 3400 11,09 ≤ 3500 - 3400 11,09

= P Z < 9

P 1 365 T ≤ 3500 = 1

Resposta

P 1 365 T ≤ 3500 = 1

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