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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 25

Supondo que o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo especificado é uma variável aleatório de Poisson com parâmetro λ . Se cada evento é contado com probabilidade p , independentemente de qualquer outro evento, mostre que o número de eventos que são contados é uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ p .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas se supormos que o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo especificado é uma variável aleatório de Poisson com parâmetro λ . Se cada evento é contado com probabilidade p , independentemente de qualquer outro evento, mostre que o número de eventos que são contados é uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ p .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Para mostrar que o número de eventos que são contatos é uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ p , temso

P x n = k = n k   p n k 1 - p n n - k

P x n = k = 1 . 1 - 1 n … 1 - k - 1 n . λ k 1 - λ n

Vamos ter que,

E X = λ para,

E X = ∑ k = 0 ∞ k e - λ λ k k ! = e - λ ∑ k = 1 ∞ λ k k - 1 !  

Podendo definirmos como

λ e - λ ∑ j = 0 ∞ λ j j ! = λ ,   o n d e   j = k - 1

Logo que para

P x n = k = λ + 1 ,   λ + 2 ,   … . , λ + n

Ficando,

P x n = k = e k

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P x n = k = e k

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