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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 81

Suponha que a distribuição da população seja normal com σ conhecido. Seja γ tal que 0 < γ < α . Para testar H 0 : μ = μ 0 versus H a : μ ≠ μ 0 , considere o teste que rejeita H 0 se tanto z ≥ z γ como z ≤ - z α - γ onde a estatística de teste é Z = X ‾ - μ 0 / ( σ / n ) .

a. Mostre que P ( erro tipo I ) = α .

b. Encontre uma expressão para β μ ' . (Sugestāo: expresse o teste na forma "rejeitar H 0 se x ‾ ≥ c 1 ou ≤ c 2 .

c. Seja Δ > 0 . Para quais valores de γ (relativos a α ) será β μ 0 + Δ < β μ 0 - Δ ?

Passo 1

Mostre que P ( erro tipo I ) = α .

a. P ( tipo I erro ) = P   ( t a m b é m Z ≥ z γ or Z ≤ z α - γ ) (quando Z é uma normal padrão r.v.) = Φ - z α - γ + 1 - Φ z γ = α - γ + γ = α

Passo 2

Encontre uma expressão para β μ ' . (Sugestāo: expresse o teste na forma "rejeitar H 0 se x ‾ ≥ c 1 ou ≤ c 2 .

b .   β ( μ ) = P ( X _ ≥ μ o + σ z γ n   o u   X _ ≤ μ o - σ z α - γ n quando o valor verdadeiro é μ ) = Φ z γ + μ o - μ σ / n - Φ - z α - γ + μ o - μ σ / n

Passo 3

Seja Δ > 0 . Para quais valores de γ (relativos a α ) será β μ 0 + Δ < β μ 0 - Δ

c. Seja   λ = n Δ σ ;; então queremos saber quando   π μ o + Δ = 1 - Φ z γ - λ + Φ - z α - γ - λ > 1 - Φ z γ + λ + Φ - z α - γ + λ = π μ o - Δ . Usando o fato de que Φ ( - c ) = 1 - Φ ( c ) , essa desigualdade se torna Φ z γ + λ - Φ z γ - λ > Φ z α - γ + λ - Φ z α - γ - λ O l.h.s. é a área sob a curva Z acima do intervalo z γ + λ , z γ - λ , enquanto o r.h.s. é a área acima z α - γ - λ , z α - γ + λ . Ambos os intervalos têm largura 2λ, mas quando z γ < z α - γ , o primeiro intervalo está mais próximo de 0 (e, portanto, corresponde à grande área) do que o segundo. Isso acontece quando γ > α - γ ,, ou seja, quando γ>α/2.

Resposta

a . α - γ + γ = α

b. Φ z γ + μ o - μ σ / n - Φ - z α - γ + μ o - μ σ / n

c. Ambos os intervalos têm largura 2λ, mas quando z γ < z α - γ , o primeiro intervalo está mais próximo de 0 (e, portanto, corresponde à grande área) do que o segundo. Isso acontece quando γ > α - γ ,, ou seja, quando γ>α/2.

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