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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 42

Suponha que o tempo, em horas, que se leva para consertar uma bomba de aquecimento é a variável aleatória X , que tem distribuição gama com parâmetros α = 2 e β = 1 / 2 . Qual é a probabilidade de que a próxima chamada de serviço precise de

(a) no máximo uma hora para consertar a bomba?

(b) pelo menos duas horas para consertar a bomba?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos as probabilidades solicitadas, onde X tem uma distribuição gama com α = 2 e β = 1 / 2 , nós temos que calcular a integral abaixo:

P   0 < X < ∞ = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x

Onde, a função f ( x ) é a função de densidade da distribuição gama.

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Como a primeira probabilidade que queremos é que seja necessário no máximo uma hora de serviço, precisamos encontrar P X < 1 .

P X < 1 = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x

= ∫ 0 1 1 1 / 2 2 ∙ 1 x 2 - 1 e - x / ( 1 / 2 ) d x

= 4 ∫ 0 1 x e - 2 x d x

= 4 1 4 - 2 x e - 2 x - e - 2 x 0 1

= 1 - 3 e - 2

P X < 1 = 0,594

Passo 3

A probabilidade que queremos encontrar agora é que o serviço dure no mínimo duas horas, então, estamos procurando P X > 2 .

P X > 2 = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x

= ∫ 2 ∞ 1 1 / 2 2 ∙ 1 x 2 - 1 e - x / ( 1 / 2 ) d x

= 4 ∫ 2 ∞ x e - 2 x d x

= 4 1 4 - 2 x e - 2 x - e - 2 x 2 ∞

= 5 e - 4

P X > 2 = 0 , 0916

Resposta

a) 0,594

b) 0,0916

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