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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 78

Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com média igual a 10. Determine o seguinte:

  1. P ( X < 5 )
  2. P ( X < 15 | X > 10 )
  3. Compare os resultados dos itens (a) e (b) e comente sobre o papel da propriedade de falta de memória.

Passo 1

  • X tem uma distribuição exponencial com média 1 λ = 10 . Assim, X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ = 1 10 .
  • A função de distribuição cumulativa de X é igual a:

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = 1 - e - λ x = 1 - e - x / 10

Passo 2

Letra a:

F ( 5 ) = P ( X < 5 ) = 1 - e - 5 / 10 = 1 - 0.6065 = 0.3935

Passo 3

Letra b:

P ( X < 15 | X > 10 ) = P ( X < 15 ∩ X > 10 ) P ( X > 10 ) = P ( 10 < X < 15 ) 1 - P ( X ≤ 10 ) = F ( 15 ) - F ( 10 ) 1 - F ( 10 ) = 1 - e - 15 / 10 - 1 + e - 10 / 10 1 - 1 + e - 10 / 10 = 0.3935

Passo 4

Letra c:

De acordo com a propriedade de falta de memória (equação 4-16), para uma variável exponencial aleatória X é

P ( X < t 1 + t 2 | X > t 1 ) = P ( X < t 2 )

Então, se t 1 = 10 e t 2 = 5 , então P ( X < 10 + 5 | X > 10 ) = P ( X < 5 ) , ou seja, P ( X < 15 | X > 10 ) = P ( X < 5 )

Assim, os resultados em a e b são os mesmos por causa da propriedade da falta de memória de uma variável exponencial aleatória.

Resposta

  1. 0.3935
  2. 0.3935
  3. Os resultados em a e b são os mesmos por causa da propriedade da falta de memória de uma variável exponencial aleatória.
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