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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 70

Água de Fênix é fornecida para aproximadamente 1.4 milhão de pessoas, que são servidas através de mais de 362000 contas. Todas as contas são medidas e cobradas mensalmente. A probabilidade de um conta conter um erro em um mês é 0.001 e contas podem ser consideradas independentes.

  1. Quais são a média e o desvio-padrão do número de contas com erro a cada mês?
  2. Aproxime a probabilidade de menos de 350 erros em um mês.
  3. Aproxime um valor de modo que a probabilidade de o número de erros exceder esse valor seja 0.05.
  4. Aproxime a probabilidade de mais de 400 erros por mês nos próximos dois meses. Considere que o resultados entre os meses sejam independentes.

Passo 1

Seja X   a variável aleatória binomial com os parâmetros:

n = 362000

p = 0.001

Então, a variável aleatória Z é definido como:

Z = X - n p n p ( 1 - p ) = X - 362 19

É aproximadamente uma variável aleatória padrão normal com a distribuição cumulativa Φ listada nas tabelas no final do livro.

Vamos calcular usando as correções de continuidade e as tabelas

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular a média e o desvio padrão da variável aleatória X usando fórmulas conhecidas para distribuição binomial:

E ( X ) = n p = 362000 × 0.001 = 362

D P ( X ) = n p ( 1 - p ) ≈ 19

Passo 3

Letra b:

P ( X < 350 ) = P ( X ≤ 349.5 ) ≈ P ( Z ≤ - 0.66 ) = ɸ ( - 0.66 ) = 0.2546

Passo 4

Letra c:

Vamos escrever a equação:

0.05 = P ( X > x ) = P ( X ≥ x + 0.5 ) ≈ P ( Z ≥ x + 0.5 - 362 19 ) = 1 - ɸ ( x + 0.5 - 362 19 )

Simplificando:

0.95 = ɸ ( x - 361.5 19 )

Usando as tabelas III:

1.645 = x - 361.5 19

E resolvendo para achar x :

x = 392.755

Passo 5

Letra d:

Primeiro vamos calcular:

P ( X > 400 ) = P ( X ≥ 400.5 ) ≈ P ( Z ≥ 2.03 ) = 1 - ɸ ( 2.03 ) = 0.021178

Portanto, a resposta é (independência):

P ( X > 400 ) 2 = 0.02117 8 2 ≈ 0.0004

Resposta

  1. Média: 362, DP:19
  2. 0.2546
  3. 392.755
  4. 0.0004
Ver Outros Exercícios desse livro

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