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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 91

O tempo entre as chamadas para o escritório de uma corporação é distribuído exponencialmente, com uma média de 10 minutos.

  1. Qual é a probabilidade de que haja mais de três chamadas em meia horas?
  2. Qual é a probabilidade de não haver mais de três chamadas em meia horas?
  3. Determine x tal que a probabilidade de nenhuma chamada ocorrer durante x horas seja igual a 0.01
  4. Qual é a probabilidade de não haver chamadas em um intervalo de duas horas?
  5. Se quatro intervalos, não coincidentes, de meia hora forem selecionados, qual é a probabilidade de nenhum desses intervalos conter qualquer chamadas?
  6. Explique a relação entre os resultados dos itens (a) e (b).

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = 10

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

10 = E ( X ) = 1 λ

E assim temos:

λ = 1 10 = 0.1

Daí, vamos calcular.

Passo 2

Letra a:

Vamos introduzir a variável aleatória de Poisson Y com a taxa λ = 1 chamadas por minuto, associado à variável aleatória exponencial X . Y é interpretado como o número aleatório de fraturas em uma determinada milhagem T. É um variável aleatória discreta com a função de massa de probabilidade:

g ( y ) = ( 0.1 T ) y e - 0.1 T y ! ,   y   ≥   0

Fazendo T =   30   m i n u t o s   e calculando usando a fórmula acima:

P ( Y > 3 ) = 1 - g ( 0 ) - g ( 1 ) - g ( 2 ) - g ( 3 ) = 0.35

Passo 3

Letra b:

P ( X > 30 ) = 1 - F ( 30 ) = e - 0.1 × 30 = e - 3 = 0.0498

Passo 4

Letra c:

Vamos escrever a equação:

0.01 = P ( X > x ) = 1 - F ( x ) = e - 0.1 × x

E resolver para achar x :

x =   - 10 l n 0.01   ≈   46   m i n u t o s   =   0.77   h o r a s

Passo 5

Letra d:

2 horas são 120 minutos, então calculamos:

P ( X > 120 ) = 1 - F ( 120 ) = e - 0.1 × 120 = e - 12 = 6.14 × 1 0 - 6

Passo 6

Letra e:

Assumindo a independência, temos:

P ( X > 30 ) 4 = e - 4 × 0.1 × 30 = e - 12 = 6.14 × 1 0 - 6

Passo 7

Letra f:

A conexão entre os resultados nas partes d e e surge do fato de que 2 horas são, na verdade, 4 intervalos de meia hora não sobrepostos.

Resposta

  1. 0.35
  2. 0.0498
  3. 0.77 horas
  4. 6.14 × 1 0 - 6
  5. 6.14 × 1 0 - 6
  6. 2 = 4 × 0.5
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