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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 84

O tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seus computador é distribuído exponencialmente, com uma média de duas horas.

  1. Qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas?
  2. Se você não tiver tido uma mensagem nas últimas quatro horas, qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem nas próximas duas horas?
  3. Qual é o tempo esperado entre sua quinta e sexta mensagens?

Passo 1

Seja X   a o tempo entre a chegada das mensagens. Então X tem uma distribuição exponencial com média E ( X ) = 1 λ = 2   h o r a s . Então:

λ = 1 2 = 0.5

e a função de distribuição cumulativa de X é

F ( x ) = P ( X   ≤   x ) = 1 - e - λ x = 1 - e - x 2 , x ≥ 0

Passo 2

Letra a:

A probabilidade de não recebermos uma mensagem durante um período de duas horas período é:

P ( X > 2 ) = 1 - P ( X ≤ 2 ) = 1 - F ( 2 ) = e - 1 = 0.3679

Passo 3

Letra b:

A partir da definição de probabilidade condicional nós agora temos:

P ( X > x + y | X > x ) = P ( X > x + y , X > x ) P ( X > x ) = P ( X > x + y ) P ( X > x )

Se não recebemos uma mensagem nas últimas quatro horas, a probabilidade que não recebamos uma mensagem nas próximas duas horas é

P ( X > 4 + 2 | X > 4 ) = P ( X > 6 ) P ( X > 4 ) = 1 - P ( X ≤ 6 ) 1 - P ( X ≤ 4 ) = 1 - F ( 6 ) 1 - F ( 4 ) = e - 1 = 0.3679

Observação: Podemos usar a propriedade de falta de memória da variável aleatória exponencial X :

P ( X > 4 + 2 | X > 4 ) = P ( X > 2 ) = 0.3679

Depois de esperar quatro horas sem mensagem, a probabilidade de não receber uma mensagem nas próximas duas horas é o mesmo que a probabilidade que você não receba uma mensagem durante um período de duas horas. O fato de que nós esperamos quatro horas sem uma mensagem não muda a probabilidade de que não recebamos uma mensagem nas próximas duas horas. Este exemplo ilustra a propriedade da falta de memória de uma variável aleatória exponencial.

Passo 4

Letra c:

O tempo esperado entre quaisquer duas mensagens consecutivas é a média de X .

E ( X ) = 2 h o r a s

Resposta

  1. 0.3679
  2. 0.3679
  3. 2 horas
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