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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 120

Suponha que X tenha uma distribuição lognormal e que a média e a variância de X sejam iguais a 100 e 85.000, respectivamente. Determine os parâmetros θ e ω 2 da distribuição lognormal. (Sugestão: defina x = e x p ( θ ) e y = e x p ( ω 2 ) e escreva duas equações em termos de x e y.)

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ e ω . Lembre-se das fórmulas para a média e variância da distribuição lognormal:

μ = E ( X ) = e θ + ω 2 2

σ 2 = V a r ( X ) = e 2 θ + ω 2 ( e ω 2 - 1 )

A média e a variância são fornecidas da seguinte forma:

μ = 100

σ 2 = 85000

Vamos alterar as variáveis ​​usando:

x = e θ

y = e ω 2

e obter:

μ = x y

σ 2 = x 2 y ( y - 1 )

Eleve ao quadrado da primeira equação e substitua na segunda para calcular y:

e ω 2 = y = σ 2 μ 2 + 1 = 9.5

Passo 2

Você pode resolver a equação do passo 1 para encontrar ω :

ω = l n 9.5 = 1.5

Agora, simplesmente determine θ da seguinte maneira:

x = μ y = 32.44

θ = l n 32.44 = 3.48

Resposta

ω = 1.5

θ = 3.48

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