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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 104

Use a integração por partes para mostrar que Gamma ( r ) = ( r - 1 ) Gamma ( r - 1 )

Passo 1

Vamos transformar a integral usando integral por partes!!!!

Gamma ( r ) = int_0^(oo) x^(r - 1) e^(- x) d x = ( u = - e^(- x) , v = x^(r - 1) ) = int_()^() v d u =

Bom, a gente vai seguir o passo a passo de uma integral por partes aqui:

Passo 2

= u v |^(x = oo)_x = 0 - int_()^() u d v = 0 + int_0^(oo) e^(- x) d ( x^(r - 1) ) =

= int_0^(oo) e^(- x) ( r - 1 ) x^(r - 2) d x = ( r - 1 ) int_0^(oo) x^(( r - 1 ) - 1) e^(- x) d x =

= ( r - 1 ) Gamma ( r - 1 )

Resposta

Use integração por partes usando u = - e^(- x) e v = x^(r - 1) .

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