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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 43

O resultado denominado desigualdade de Chebyshev diz que, para qualquer distribuição de probabilidade de uma va X e qualquer número k ao menos igual a 1, P(|X- μ |) > k σ )

a. Qual é o valor do limite superior para k 2? k 3? k 4? k 5? k 10?

b. Calcule e da distribuição do Exercício 13. Depois calcule P(⏐X ⏐ k) para os valores de k fornecidos na parte (a). O que isto sugere sobre o limite superior em relação à probabilidade correspondente?

c. Assuma que X possa ter três valores: 1, 0, e 1, com as probabilidades 1 1 8 , 8 9 , e 1 1 8 , respectivamente. Qual é P(⏐X ⏐ 3), e como ela se compara ao limite correspondente?

d. Forneça uma distribuição para a qual P(⏐X ⏐ 5) 0,

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Regra de Chebyshev: pelo menos

100 1 - 1 k 2 %

is dentro de k desvios padrão da média, ou em outras palavras:

P X - μ ≥ k σ ≤ 1 k 2

Passo 2

  1. Avalie o limite superior 1 k 2 em k =   , 2,3 , 4,5 , 10

    2. k = 2   ; 1 k 2 = 1 4

    k = 3   ; 1 k 2 = 1 9

    k = 4   ; 1 k 2 = 1 16

    k = 5   ; 1 k 2 = 1 25

    k = 5 ; 1 k 2 = 1 100

  2. O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P(x):

    3. μ =   ∑ x P x = 0 ∙ 0.10 + 1 ∙ 0.15 + 2 ∙ 0.2 + 3 ∙ 0.25 + 4 ∙ 0.20 + 5 ∙ 0.06 + 6 ∙ 0.04 = 2.64

    A variância é o valor esperado do desvio quadrado da média

    σ 2 =   ∑ x -   μ 2 P x = 0 - 2.64 2 10 + 1 - 2.64 2 0.15 + 2 - 2.64 2 20 + 3 - 2.64 2 0.25 + 4 - 2.64 2 0.20 + 5 - 2.64 2 0.06 + 6 - 2.64 2 0.04 = 2.3704

    O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

    σ =   σ = 2.3704 = 1.5396

    Determine as probabilidades de Chebyshev:

    k = 2   → P X - μ ≥ 2 σ = P X ≤   μ - 2 σ + P X ≥ μ + 2 σ = P X ≤ 0.5472 + P X ≥ 5.8272 = 0 + P X = 6 = 0 + 0.04 = 0.04

    k = 3   → P X - μ ≥ 3 σ = P X ≤   μ - 3 σ + P X ≥ μ + 3 σ = P X ≤ - 2.1408 + P X ≥ 7.4208 = 0

    k = 4   → P X - μ ≥ 4 σ = P X ≤   μ - 4 σ + P X ≥ μ + 4 σ = P X ≤ - 3.7344 + P X ≥ 9.0144 = 0

    k = 5   → P X - μ ≥ 5 σ = P X ≤   μ - 5 σ + P X ≥ μ + 5 σ = P X ≤ - 5.328 + P X ≥ 10.608 = 0

    k = 10   → P X - μ ≥ 10 σ = P X ≤   μ - 10 σ + P X ≥ μ + 10 σ = P X ≤ - 13.296 + P X ≥ 18.576 = 0

    O limite superior limita o quão grande a probabilidade pode ser, mas a probabilidade sempre pode ser (muito) menor.

    Passo 3

  3. O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P(x):

    4. μ =   ∑ x P x = - 1 ∙ 1 18 + 0 ∙ 8 9 + 1 ∙ 1 18 = 0

    A variância é o valor esperado do desvio quadrado da média:

    σ 2 =   ∑ x - μ 2 P x = - 1 - 0 2 ∙ 1 18 + 0 - 0 2 ∙ 8 9 + 1 - 0 2 ∙ 1 18 = 1 9

    O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

    σ =   σ 2 =   1 9 = 1 3

    Determine a probabilidade de Chebyshev para k=3:

    P X - μ ≥ 3 σ ) = P ( X <   μ - 3 σ ) + P ( X >   μ + 3 σ ) = P ( X ≤   - 1 ) + P ( X ≥ 1 )

    P X =   - 1 + P X = 1 = 1 18 + 1 18 = 2 18 = 1 9

  4. Para exemplo, deixemos X assumir os possíveis valores -1, 0 e 1, de tal forma que P X = - 1 = P ( X + 1 )

Atribuímos as probabilidades de P(X=−1) e P(X=1) como metade da probabilidade dada (tal que sua soma seja igual à probabilidade de 0,04):

P X =   - 1 = P X = 1 = 0.04 2 = 0.02 = 1 50

A soma de todas as probabilidades tem que ser 1, então a probabilidade de 0 é 1 diminuída pelas outras probabilidades conhecidas:

P X = 0 = 1 - P X = - 1 - P X = 1 = 1 - 1 50 - 1 50 = 48 50 = 24 25

Vamos verificar se esta distribuição satisfaz a condição.

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P(X)

μ =   ∑ x P X =   - 1 ∙ 1 50 + 0 ∙ 24 25 + 1 ∙ 1 50 = 0

A variância é o valor esperado do desvio quadrado da média:

σ 2 =   ∑ x -   μ 2 P x = - 1 - 0 2 ∙ 1 50 + 0 - 0 2 ∙ 24 25 + 1 - 0 2 ∙ 1 50 = 1 25

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

σ =   σ ² =   1 25 = 1 5

Determine a probabilidade de Chebyshev para k=5:

k = 5   → P X - μ ≥ 5 σ = P X ≤   μ - 5 σ + P X ≥ μ + 5 σ = P X ≤ - 1 + P X ≥ 1

P X = - 1 + P X = 1 = 1 50 + 1 50 = 2 50 = 1 25 = 0.04

Assim a distribuição de X com valores possíveis -1−1, 0 e 1, com probabilidades 1 50 , 24 25 , 1 50 satisfez a condição dada.

Resposta

  1. 0.25, 0.1111, 0.0625, 0.04, 0.01
  2. μ = 2.64 σ = 1.5396 P X - μ 2 σ = 0.04 outras probabilidades todas zero. O limite superior limita o quão grande a probabilidade pode ser, mas a probabilidade sempre pode ser menor.
  3. P X - μ ≥ 3 σ = 1 9
  4. As respostas podem variar

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