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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 33

Suponha que Xij seja uma variável binominal com parâmetros n e pi (portanto, aproximadamente normal quando npi 5 e nqi 5). Então, visto que i npi , V(Xij) 2 i npi (1 pi ) i (1 i /n), como os Xijs devem ser transformados para estabilizar a variância? [Sugestão: g(i ) i (1 i /n).]

Passo 1

Dado

a função que produz a transformação apropriada é

Desde

g x = x 1 - x n

O h x se torna

h x =   ∫ 1 x 1 - x n d x = ∫ 1 x ∙ 1 1 - x n d x

por substituição

t =   x n ;

d t = 1 2 n ∙ x d x  

Você tem

h x = 2 n ∫ 1 1 - t ² d t = 2 n ∙ arcsin ⁡ t = 2 n arcsin ⁡ x n

Resposta

h x = 2 n ∫ 1 1 - t ² d t = 2 n ∙ arcsin ⁡ t = 2 n arcsin ⁡ x n

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