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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 13.Exercícios propostos - Ex. 2a

A tabela abaixo apresenta o número de acidentes de estrada ocorridos e o número de veículos licenciados, num certo país, no período 1957/1967:

Pede-se:

  1. Ajustar uma reta de mínimos quadrados do número de acidentes em função do tempo;

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

O método dos mínimos quadrados é um dos métodos utilizados para estimar os parâmetros da regressão. Onde iremos estimar os parâmetros α e β da reta da regressão, e chamaremos de a e b , respectivamente. Sendo assim:

  • Y = α + β ∙ X reta de regressão de Y sobre X ;
  • Y ^ = a + b ∙ X estimativa da reta de regressão.

O método dos mínimos quadrados fornece os valores de a e b tais que ∑ Y i - Y ^ i 2 seja mínimo. Iremos descobrir os valores de a e b pela Regra de Cramer. Para isso, iremos utilizar algumas equações:

  • Os valores médios de X i e Y i :

    • X - = ∑ X i n

    Y - = ∑ Y i n

  • As variâncias são calculadas pelas seguintes equações:

    • S X Y = ∑ ( X i ∙ Y i ) - ∑ X i ∙ ∑ Y i n

    S X X = ∑ X i 2 - ∑ X i 2 n

    S Y Y = ∑ Y i 2 - ∑ Y i 2 n

  • E as estimativas procuradas de a e b :

b = S X Y S X X

a = Y - - b ∙ X -

Passo 2

Sendo assim, iremos iniciar nosso exercício, primeiramente precisamos relembrar que qualquer série de valores de uma variável colocada em função do tempo constitui o que se chama de série temporal. Para essas séries é sempre conveniente estabelecer uma escala qualquer de tempo ( X ) com número em progressão aritmética, de preferência números que a soma seja igual a zero, pois os cálculos serão simplificados, então:

Agora conseguimos calcular os valores de S X Y , S X X e S Y Y :

S X Y = 1358 - 0 ∙ 2396 11 = 1358

S X X = 110 - 0 2 11 = 110

S Y Y = 539512 - 2396 2 11 = 17619,64

Passo 3

Neste próximo passo iremos calcular as médias de X i e Y i :

X - = 0 11 = 0

Y - = 2396 11 = 217,82

Passo 4

E por fim, iremos obter os valores de a e b , para obtermos a equação da reta:

b = 1358 110 = 12,35

a = 217,82 - 12,35 ∙ 0 = 217,82

Sendo assim:

Y ^ = 217,82 + 12,35 ∙ X

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Y ^ = 217,82 + 12,35 ∙ X .

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