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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 136

O tempo entre chamadas é distribuído exponencialmente, com um tempo médio entre chamadas igual a 10 minutos.

  1. Qual é a probabilidade de o tempo até a primeira chamada ser menor do que 5 minutos?
  2. Qual é a probabilidade de o tempo até a primeira chamada estar entre 5 e 15 minutos?
  3. Sendo 0,9 a probabilidade de existir no mínimo uma chamada no intervalo, determine o comprimento de um intervalo de tempo.
  4. Se não houvesse uma chamada em 10 minutos, qual seria a probabilidade de que o tempo até a próxima chamada fosse menor que 5 minutos?
  5. Qual é a probabilidade de não haver chamadas no intervalos de 10h a 10h05 min, de 11h30 min a 11h35min e de 14h a 14h05min?
  6. Qual é a probabilidade de o tempo até a terceira chamada ser maior do que 30 minutos?
  7. Qual é o tempo médio até a quinta chamada?

Passo 1

Dados:

μ = 10   m i n u t o s

A fórmula da probabilidade da distribuição exponencial é:

P ( x   ≤   a ) = 1 - e - a / μ

P ( a < x < b ) = e - a / μ - e - b / μ

Passo 2

Letra a:

Vamos usar a primeira fórmula e avalie em a=0.5:

P ( x ≤ 5 ) = 1 - e - 5 / 10 = 0.3935

Passo 3

Letra b:

Vamos usar a segunda fórmula e avaliar em a=5 e em b=15:

P ( 5 ≤ x ≤ 15 ) = e - 5 / 10 - e - 15 / 10 = 0.3834

Passo 4

Letra c:

Precisamos determinar o menor valor de k para o qual a probabilidade P ( X ≤ k ) é pelo menos 0.90. Avalie a primeira fórmula fornecida nos valores de k até obter uma probabilidade de pelo menos 0.90. O valor correspondente de k   é o tamanho do intervalo:

  • Para k = 23 ,   P ( X ≤ k ) = 0.8997
  • Para k = 24 ,   P ( X ≤ k )   =   0.9093

Passo 5

Letra d:

Se não houver uma chamada em 10 minutos e houver uma chamada nos próximos 5 minutos, a primeira chamada será em 10 e 15 minutos.

P ( 10 ≤ x ≤ 15 ) = e - 10 / 10 - e - 15 / 10 = 0.1447

Passo 6

Letra e:

Todos os três intervalos contém 5 minutos:

P ( x ≤ 5 ) = 1 - e - 5 / 10 = 0.3935

Passo 7

Letra f:

X 1 + X 2 + X 3 representa a duração total das três chamadas e X 1 + X 2 + X 3 tem uma distribuição Erlang ( 3.1 / 10 )

A fórmula da Distribuição Erlang é:

f ( x ) = λ k x k - 1 e - λ x ( k - 1 ) !

Vamos determinar a probabilidade de que x seja menor que 30:

∫ 0 30 f ( x ) d x = ∫ 0 30 0 . 1 3 x 3 - 1 e - 0.1 x ( 3 - 1 ) ! d x = 0.57681

Passo 8

Letra g:

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 representa a duração total das cinco chamadas e X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 tem uma distribuição Erlang ( 5.1 / 1 0 ) .

A média da distribuição Erlang ( k , λ ) é k   dividido por λ :

μ = k λ = 50

Resposta

  1. 0.3935
  2. 0.3834
  3. 24   m i n u t o s
  4. 0.1447
  5. 0.3935
  6. 0.57681
  7. 50   m i n u t o s
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