Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 17
Vigas de ferro são soldadas em toda sua extensão a uma estrutura metálica. Uma falha na soldagem pode aparecer com probabilidade de e , se ocorrer, será em qualquer ponto da viga com igual probabilidade. Se a viga tem especificação de comprimento igual a , determine:
- Sabendo que uma falha ocorreu, a probabilidade de ela ser distante no máximo em um metro das extremidades.
- A Probabilidade de ocorrer falha de solda nos dois metros centrais da viga.
Passo 1
Vamos lá, em exercícios como esse é muito importante, antes de mais nada, que identifiquemos quem é a variável, e que tipo de comportamento ela tem (normal, exponencial, uniforme).
Então seja:
Agora perceba que, como dito pelo enunciado, a probabilidade de ocorrer uma falha em qualquer ponto da viga é a mesma; isso significa dizer que temos uma distribuição uniforme, então:
E lembre-se que uma variável com distribuição uniforme possui uma função densidade na seguinte forma:
Logo, para a nossa variável:
Passo 2
Tendo definido nossa variável, vamos interpretar o que o enunciado pede:
Na alternativa A:
Ele nos diz que já houve uma falha, temos portanto uma condicional:
Se você se lembrar da formulinha para probabilidades condicionais:
Como os eventos são disjuntos/independentes, podemos dizer o seguinte:
E
Então teremos:
Ou seja,
Passo 3
Já na letra B, queremos que ocorra falha E que seja nos dois metros centrais da viga:
Pois são esses os dois metros centrais da viga, certo?
Então fica fácil,
E portanto,
Resposta
Concluimos que:
(a)
(b)