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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 121

O tempo de vida de um laser semicondutor tem uma distribuição lognormal e é sabido que a média e o desvio-padrão do tempo de vida são 10.000 e 20.000, respectivamente.

  1. Calcule os parâmetros da distribuição
  2. Determine a probabilidade de um tempo de vida exceder 10.000 horas
  3. Determine o tempo de vida excedido por 90% dos lasers.

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ e ω 2 . Lembre-se das fórmulas para a média e variância da distribuição lognormal:

F ( x ) = Φ ( l n x - θ ω )

μ = E ( X ) = e θ + ω 2 2

σ 2 = V a r ( X ) = e 2 θ + ω 2 ( e ω 2 - 1 )

Passo 2

Na letra a:

A média e a variância são fornecidas da seguinte forma:

μ = 10000

σ 2 = 2000 0 2

Vamos alterar as variáveis ​​usando:

x = e θ

y = e ω 2

e obter:

μ = x y

σ 2 = x 2 y ( y - 1 )

Eleve ao quadrado da primeira equação e substitua na segunda para calcular y:

e ω 2 = y = σ 2 μ 2 + 1 = 5

Passo 3

Você pode resolver a equação do passo 2 para encontrar ω 2 :

ω 2 = l n 5 = 1.6

Agora, simplesmente determine θ da seguinte maneira:

x = μ y = 4472.14

θ l n 4472.14 = 8.4

Passo 4

Na letra b:

Vamos calcular usando as tabelas:

P ( X > 10000 ) = 1 - F ( 10000 ) = 0.26

Passo 5

Na letra c:

Escreva a equação:

0.9 = P ( X ≥ x ) = 1 - F ( x ) = 1 - Φ ( l n x - θ ω )

que dá (novamente, use tabelas ou software):

l n x - 8.4 1.6 = - 1.28

E daí, vamos resolver esta equação para para obter x:

x = 881

Resposta

  1. θ = 8.4 ,   ω 2 = 1.6
  2. 0.26
  3. = 881
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