Mostre que a função densidade de gama f ( x , λ , r ) integrada é igual a 1.

Passo 1

Vamos relembrar a definição da função de densidade gama:

f ( x ; λ , r ) = λ r x r - 1 e - λ x Γ ( r ) ,   x > 0

Em seguida, a gente simplesmente integrar essa função.

Passo 2

∫ 0 ∞ e - λ x λ r x r - 1 Γ ( r ) d x = ∫ 0 ∞ ( λ x ) r - 1 d ( λ x ) Γ ( r ) = ( s u b s t i t u a   y = λ x ) = ∫ 0 ∞ y r - 1 d ( y ) Γ ( r ) = Γ ( r ) Γ ( r ) = 1

Resposta

Substitua a variável y = λ x e empregue a definição de função gamma.

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