Enunciado

Mostre que a função densidade de gama f ( x , λ , r ) integrada é igual a 1.

Passo 1

Vamos relembrar a definição da função de densidade gama:

f ( x ; λ , r ) = λ r x r - 1 e - λ x Γ ( r ) ,   x > 0

Em seguida, a gente simplesmente integrar essa função.

Passo 2

∫ 0 ∞ e - λ x λ r x r - 1 Γ ( r ) d x = ∫ 0 ∞ ( λ x ) r - 1 d ( λ x ) Γ ( r ) = ( s u b s t i t u a   y = λ x ) = ∫ 0 ∞ y r - 1 d ( y ) Γ ( r ) = Γ ( r ) Γ ( r ) = 1

Resposta

Substitua a variável y = λ x e empregue a definição de função gamma.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória lognormal a partir da derivada da função de distribuição cumulativa.
Suponha que X tenha uma distribuição lognormal, com parâmetros θ = 5 e ω 2 = 9 . Determine o seguinte: P ( X13.300 ) O valor para x, tal que P ( X ≤ x ) = 0.95 A média e a variância de X.
Suponha que X tenha uma distribuição lognormal. cum parâmetros θ = - 2 e ω 2 = 9 . Determine o seguinte:PO valor para x, tal que P(X (c) A média e a variância de X
O período de tempo (em segundos) em que um usuário visualiza uma página na internet antes de mudar para outra é uma variável aleatória lognormal, com parâmetros θ = 0.5 e ω 2 = 1 . Qual é a probabilid
O tempo de vida de um laser semicondutor tem uma distribuição lognormal e é sabido que a média e o desvio-padrão do tempo de vida são 10.000 e 20.000, respectivamente.Calcule os parâmetros da distribu